En geometría , una secante de una curva es una línea que se cruza con la curva en un mínimo de dos puntos distintos . [1] La palabra secante viene del latín palabra Secare , es decir, a corte . [2] En el caso de un círculo , una secante cortará el círculo exactamente en dos puntos. Una cuerda es el segmento de línea real determinado por estos dos puntos, es decir, el intervalo de la secante cuyos extremos están en estas posiciones. [3]
Circulos
Una línea recta puede cruzar un círculo en cero, uno o dos puntos. Una línea que se cruza en dos puntos se llama línea secante , en un punto una línea tangente y en ningún punto una línea exterior . Una cuerda de un círculo es el segmento de línea que une dos puntos distintos del círculo. Por lo tanto, una cuerda está contenida en una línea secante única y cada línea secante determina una cuerda única.
En los tratamientos modernos rigurosos de la geometría plana , los resultados que parecen obvios y fueron asumidos (sin enunciado) por Euclides en su tratamiento , generalmente se prueban.
Por ejemplo, Teorema (Continuidad circular elemental) : [4] Si es un circulo y una línea que contiene un punto A que está dentroy un punto B que está fuera de luego es una línea secante para .
En algunas situaciones, la expresión de los resultados en términos de líneas secantes en lugar de acordes puede ayudar a unificar declaraciones. Como ejemplo de esto, considere el resultado: [5]
- Si dos líneas secantes contienen las cuerdas AB y CD en un círculo y se cruzan en un punto P que no está en el círculo, entonces las longitudes del segmento de línea satisfacen AP ⋅ PB = CP ⋅ PD .
Si el punto P está dentro del círculo, este es Euclides III.35, pero si el punto está fuera del círculo, el resultado no está contenido en los Elementos. Sin embargo, Robert Simson siguiendo a Christopher Clavius demostró este resultado, a veces llamado teorema de la secante-secante , en sus comentarios sobre Euclides. [6]
Curvas
Al trabajar con curvas más complicadas que círculos simples, surge la posibilidad de que una línea que se encuentra con la curva en dos puntos distintos pueda encontrarse con la curva en otros puntos. Algunos autores definen una línea secante a una curva como una línea que se encuentra con la curva en dos puntos distintos. Esta definición deja abierta la posibilidad de que la línea pueda tener otros puntos de intersección con la curva. Cuando se expresa de esta manera, las definiciones de una línea secante para círculos y curvas son idénticas y la posibilidad de puntos adicionales de intersección simplemente no ocurre para un círculo.
Secantes y tangentes
Se pueden usar secantes para aproximar la línea tangente a una curva , en algún punto P , si existe. Defina una secante a una curva por dos puntos , P y Q , con P fijo y Q variable. Como Q se aproxima a P a lo largo de la curva, si la pendiente de la secante se aproxima a un valor límite , entonces ese límite define la pendiente de la línea tangente en P . [1] Las líneas secantes PQ son las aproximaciones a la línea tangente. En cálculo, esta idea es la definición geométrica de la derivada .
Una línea tangente a una curva en un punto P puede ser una línea secante a la curva si se corta a la curva en al menos un punto distinto de P . Otra forma de ver esto es darse cuenta de que ser una línea tangente en un punto P es una propiedad local , que depende solo de la curva en la vecindad inmediata de P , mientras que ser una línea secante es una propiedad global , ya que todo el dominio de la Es necesario examinar la función que produce la curva.
Conjuntos y n -secantes
El concepto de línea secante se puede aplicar en un entorno más general que el espacio euclidiano. Sea K un conjunto finito de k puntos en algún entorno geométrico. Una línea será llamada n -secant de K si contiene exactamente n puntos de K . [7] Por ejemplo, si K es un conjunto de 50 puntos dispuestos en un círculo en el plano euclidiano, una línea que une dos de ellos sería una secante 2 (o bisecante ) y una línea que pasa por solo uno de ellos sería una secante 1 (o unisecante ). Un unisecante en este ejemplo no necesita ser una línea tangente al círculo.
Esta terminología se utiliza a menudo en geometría de incidencia y geometría discreta . Por ejemplo, el teorema de geometría de incidencia de Sylvester-Gallai establece que si n puntos de geometría euclidiana no son colineales, entonces debe existir una secante 2 de ellos. Y el problema original de plantación de huertos de geometría discreta pide un límite en el número de 3-secantes de un conjunto finito de puntos.
La finitud del conjunto de puntos no es esencial en esta definición, siempre que cada línea pueda intersecar el conjunto en solo un número finito de puntos.
Ver también
- Curva elíptica , una curva para la cual cada secante tiene un tercer punto de intersección, a partir del cual se puede definir la mayor parte de una ley de grupo.
- Teorema del valor medio , que toda secante de la gráfica de una función suave tiene una recta tangente paralela
- Quadrisecant , una línea que cruza cuatro puntos de una curva (generalmente una curva espacial)
- Plano secante , el equivalente tridimensional de una línea secante
- Variedad secante , la unión de rectas secantes y rectas tangentes a una variedad proyectiva dada.
Referencias
- ↑ a b Protter, Murray H .; Protter, Philip E. (1988), Cálculo con geometría analítica , Jones & Bartlett Learning, p. 62, ISBN 9780867200935.
- ^ Redgrove, Herbert Stanley (1913), Medición experimental: un libro de prueba elemental de geometría inductiva , Van Nostrand, p. 167.
- ^ Gullberg, Jan (1997), Matemáticas: desde el nacimiento de los números , WW Norton & Company, p. 387, ISBN 9780393040029.
- ^ Venema, Gerard A. (2006), Fundamentos de la geometría , Pearson / Prentice-Hall, p. 229, ISBN 978-0-13-143700-5
- ^ Jacobs, Harold R. (1974), Geometría , WH Freeman & Co., pág. 482, ISBN 0-7167-0456-0
- ^ Heath, Thomas L. (1956), Los trece libros de Euclid's Elements (Vol. 2) , Dover, p. 73
- ^ Hirschfeld, JWP (1979), Geometrías proyectivas sobre campos finitos , Oxford University Press, p. 70 , ISBN 0-19-853526-0
enlaces externos
- Weisstein, Eric W. "Línea secante" . MathWorld .