En cálculo , una prueba de derivadas utiliza las derivadas de una función para ubicar los puntos críticos de una función y determinar si cada punto es un máximo local , un mínimo local o un punto de silla . Las pruebas de derivadas también pueden dar información sobre la concavidad de una función.
La utilidad de las derivadas para encontrar extremos se demuestra matemáticamente mediante el teorema de los puntos estacionarios de Fermat .
La prueba de la primera derivada examina las propiedades monótonas de una función (donde la función es creciente o decreciente ), enfocándose en un punto particular en su dominio . Si la función "cambia" de creciente a decreciente en el punto, entonces la función alcanzará un valor más alto en ese punto. De manera similar, si la función "cambia" de decreciente a creciente en el punto, alcanzará un valor mínimo en ese punto. Si la función no logra "cambiar" y sigue aumentando o disminuyendo, entonces no se alcanza el valor más alto o más bajo.
Uno puede examinar la monotonicidad de una función sin cálculo. Sin embargo, el cálculo suele ser útil porque existen condiciones suficientes que garantizan las propiedades de monotonicidad anteriores, y estas condiciones se aplican a la gran mayoría de las funciones que uno encontraría.
Expresado con precisión, suponga que f es una función continua de valor real de una variable real, definida en algún intervalo abierto que contiene el punto x .
Esta declaración es una consecuencia directa de cómo se definen los extremos locales . Es decir, si x 0 es un punto máximo local, entonces existe r > 0 tal que f ( x ) ≤ f ( x 0 ) para x en ( x 0 − r , x 0 + r ) , lo que significa que f tiene para aumentar de x 0 − r a x 0 y tiene que disminuir de x 0 a x0 + r porque f es continua.