En matemáticas , el teorema de Fermat (también conocido como teorema del extremo interior ) es un método para encontrar máximos y mínimos locales de funciones diferenciables en conjuntos abiertos mostrando que cada extremo local de la función es un punto estacionario (la derivada de la función es cero en ese punto ). El teorema de Fermat es un teorema en análisis real , llamado así por Pierre de Fermat .
Al usar el teorema de Fermat, los extremos potenciales de una función , con derivada , se encuentran resolviendo una ecuación en. El teorema de Fermat proporciona solo una condición necesaria para valores de función extremos, ya que algunos puntos estacionarios son puntos de inflexión (no un máximo ni un mínimo). La segunda derivada de la función , si existe, a veces se puede usar para determinar si un punto estacionario es un máximo o un mínimo.
Declaración
Una forma de enunciar el teorema de Fermat es que, si una función tiene un extremo local en algún punto y es diferenciable allí, entonces la derivada de la función en ese punto debe ser cero. En lenguaje matemático preciso:
- Dejar ser una función y supongamos que es un punto donde tiene un extremo local. Si es diferenciable en , luego .
Otra forma de entender el teorema es a través del enunciado contrapositivo : si la derivada de una función en cualquier punto no es cero, entonces no hay un extremo local en ese punto. Formalmente:
- Si es diferenciable en , y , luego no es un extremo local de .
Corolario
Los extremos globales de una función f en un dominio A ocurren solo en límites , puntos no diferenciables y puntos estacionarios. Sies un extremo global de f , entonces se cumple una de las siguientes condiciones:
- Perímetro: está en el límite de A
- no diferenciable: f no es diferenciable en
- punto estacionario: es un punto estacionario de f
Extensión
En dimensiones superiores, se cumple exactamente la misma afirmación; sin embargo, la demostración es un poco más complicada. La complicación es que en una dimensión, uno puede moverse hacia la izquierda o hacia la derecha desde un punto, mientras que en dimensiones más altas, uno puede moverse en muchas direcciones. Por lo tanto, si la derivada no desaparece, se debe argumentar que hay alguna dirección en la que la función aumenta y, por lo tanto, en la dirección opuesta la función disminuye. Este es el único cambio en la prueba o el análisis.
La declaración también puede extenderse a variedades diferenciables . Sies una función diferenciable en una variedad, entonces sus extremos locales deben ser puntos críticos de, en particular puntos donde la derivada exterior es cero. [1]
Aplicaciones
El teorema de Fermat es fundamental para el método de cálculo para determinar máximos y mínimos: en una dimensión, uno puede encontrar extremos simplemente calculando los puntos estacionarios (calculando los ceros de la derivada), los puntos no diferenciables y los puntos límite, y luego investigando este conjunto para determinar los extremos.
Se puede hacer esto evaluando la función en cada punto y tomando el máximo, o analizando más las derivadas, usando la prueba de la primera derivada , la prueba de la segunda derivada o la prueba de la derivada de orden superior .
Argumento intuitivo
Intuitivamente, una función diferenciable se aproxima por su derivada - una función diferenciable se comporta infinitesimalmente como una función lineal o más precisamente, Por lo tanto, desde la perspectiva de que "si f es diferenciable y tiene una derivada que no desaparece en entonces no alcanza un extremo en "la intuición es que si la derivada en es positivo, la función aumenta cerca demientras que si la derivada es negativa, la función disminuye cerca deEn ambos casos, no puede alcanzar un máximo o un mínimo, porque su valor está cambiando. Solo puede alcanzar un máximo o un mínimo si se "detiene", si la derivada desaparece (o si no es diferenciable, o si uno se encuentra con el límite y no puede continuar). Sin embargo, hacer que "se comporte como una función lineal" sea preciso requiere una prueba analítica cuidadosa.
Más precisamente, la intuición se puede afirmar como: si la derivada es positiva, hay algún punto a la derecha dedonde f es mayor, y algún punto a la izquierda dedonde f es menor, y por lo tanto f no alcanza ni un máximo ni un mínimo enPor el contrario, si la derivada es negativa, hay un punto a la derecha que es menor y un punto a la izquierda que es mayor. Dicho de esta manera, la prueba es simplemente traducir esto en ecuaciones y verificar "cuánto mayor o menor".
La intuición se basa en el comportamiento de funciones polinomiales . Suponga que la función f tiene un máximo en x 0 , siendo el razonamiento similar para una función mínima. Sies un máximo local, entonces, aproximadamente, hay un vecindario (posiblemente pequeño) decomo la función "aumenta antes" y "disminuye después" [nota 1] . Como la derivada es positiva para una función creciente y negativa para una función decreciente, es positivo antes y negativo después . no omite valores (según el teorema de Darboux ), por lo que tiene que ser cero en algún punto entre los valores positivos y negativos. El único punto del barrio donde es posible tener es .
El teorema (y su demostración a continuación) es más general que la intuición en el sentido de que no requiere que la función sea diferenciable en un vecindario alrededor . Es suficiente que la función sea diferenciable solo en el punto extremo.
Prueba
Prueba 1: Los derivados que no desaparecen implican que no son extremos
Suponga que f es diferenciable encon derivada K, y asumir sin pérdida de generalidad que entonces la línea tangente en tiene pendiente positiva (va en aumento). Luego hay un barrio deen el que las líneas secantes a través todos tienen pendiente positiva, y por lo tanto a la derecha de f es mayor, y a la izquierda de f es menor.
El esquema de la prueba es:
- un enunciado infinitesimal sobre la derivada (recta tangente) en implica
- un enunciado local sobre cocientes en diferencias (líneas secantes) cerca de lo que implica
- una declaración local sobre el valor de f cerca
Formalmente, por la definición de derivada, significa que
En particular, para lo suficientemente pequeño (menos que algunos ), el cociente debe ser al menos por la definición de límite. Así en el intervalo uno tiene:
uno ha reemplazado la igualdad en el límite (una declaración infinitesimal) con una desigualdad en un vecindario (una declaración local). Por lo tanto, reordenando la ecuación, si luego:
entonces en el intervalo a la derecha, f es mayor que y si luego:
así que en el intervalo de la izquierda, f es menor que
Por lo tanto no es un máximo o mínimo local o global de f.
Prueba 2: Extremum implica que la derivada desaparece
Alternativamente, uno puede comenzar asumiendo que es un máximo local, y luego demuestre que la derivada es 0.
Suponer que es un máximo local (se aplica una prueba similar si es un mínimo local). Entonces existe tal que y tal que tenemos para todos con . Por lo tanto, para cualquier tenemos
Dado que el límite de esta relación como se acerca a 0 desde arriba existe y es igual a concluimos que . Por otro lado, para nos damos cuenta que
pero de nuevo el limite como se acerca a 0 desde abajo existe y es igual a así que también tenemos .
Por tanto, concluimos que
Precauciones
Un concepto erróneo sutil que a menudo se sostiene en el contexto del teorema de Fermat es asumir que hace una declaración más fuerte sobre el comportamiento local que lo que hace. En particular, el teorema de Fermat no dice que las funciones (monótonamente) "aumentan hasta" o "disminuyen desde" un máximo local. Esto es muy similar a la idea errónea de que un límite significa "acercarse monótonamente a un punto". Para las "funciones de buen comportamiento" (que aquí significa continuamente diferenciable ), algunas intuiciones son válidas, pero en general las funciones pueden comportarse mal, como se ilustra a continuación. La moraleja es que las derivadas determinan el comportamiento infinitesimal , y que las derivadas continuas determinan el comportamiento local .
Funciones continuamente diferenciables
Si f es continuamente diferenciable en una vecindad abierta del punto, luego significa que f está aumentando en un vecindario de como sigue.
Si y entonces, por la continuidad de la derivada, hay algo tal que para todos . Entonces f aumenta en este intervalo, por el teorema del valor medio : la pendiente de cualquier recta secante es al menos ya que es igual a la pendiente de alguna recta tangente.
Sin embargo, en el enunciado general del teorema de Fermat, donde solo se da que la derivada en es positivo, sólo se puede concluir que las líneas secantes a través de tendrá pendiente positiva, para las líneas secantes entre y puntos suficientemente cercanos.
Por el contrario, si la derivada de f en un punto es cero (es un punto estacionario), en general no se puede concluir nada sobre el comportamiento local de f ; puede aumentar hacia un lado y disminuir hacia el otro (como en), aumentar a ambos lados (como en ), disminuir a ambos lados (como en ), o se comportan de formas más complicadas, como oscilantes (como en , como se analiza a continuación).
Se puede analizar el comportamiento infinitesimal mediante la prueba de la segunda derivada y la prueba de la derivada de orden superior , si la función es lo suficientemente diferenciable y si la primera derivada que no desaparece enes una función continua , entonces se puede concluir el comportamiento local (es decir, si es la primera derivada que no desaparece, y es continuo, entonces ), entonces se puede tratar f como localmente cercano a un polinomio de grado k, ya que se comporta aproximadamente comopero si la k -ésima derivada no es continua, no se pueden sacar tales conclusiones y puede comportarse de manera bastante diferente.
Funciones patologicas
La función - oscila cada vez más rápidamente entre y cuando x se acerca a 0. En consecuencia, la función oscila cada vez más rápidamente entre 0 y a medida que x se acerca a 0. Si se extiende esta función definiendo entonces la función extendida es continua y diferenciable en todas partes (es diferenciable en 0 con derivada 0), pero tiene un comportamiento bastante inesperado cerca de 0: en cualquier vecindario de 0 alcanza 0 infinitamente muchas veces, pero también es igual a (un número positivo) infinitamente a menudo.
Continuando en esta línea, se puede definir , que oscila entre y . La función tiene su mínimo local y global en, pero en ninguna vecindad de 0 está disminuyendo o aumentando desde 0; oscila salvajemente cerca de 0.
Esta patología se puede entender porque, si bien la función g es diferenciable en todas partes, no es continuamente diferenciable: el límite de como no existe, por lo que la derivada no es continua en 0. Esto refleja la oscilación entre valores crecientes y decrecientes a medida que se acerca a 0.
Ver también
- Optimización (matemáticas)
- Máximos y mínimos
- Derivado
- Valor extremo
- arg max
- Adecuación
Notas
- ^ Esta intuición solo es correcta para continuamente diferenciables funciones, mientras que en general no es literalmente correcto; una función no necesita estar aumentando hasta un máximo local: en su lugar, puede estar oscilando, por lo que ni aumenta ni disminuye, pero simplemente el máximo local es mayor que cualquier valor en un vecindario pequeño para la izquierda o la derecha de la misma. Ver detalles en las patologías.
Referencias
- ^ "¿Es cierto el teorema de Fermat sobre los extremos locales para variedades suaves?" . Stack Exchange . 11 de agosto de 2015 . Consultado el 21 de abril de 2017 .
enlaces externos
- "Teorema de Fermat (puntos estacionarios)" . PlanetMath .
- "Prueba del teorema de Fermat (puntos estacionarios)" . PlanetMath .