Segunda derivada covariante
En las ramas matemáticas de la geometría diferencial y el cálculo vectorial , la segunda derivada covariante , o la derivada covariante de segundo orden , de un campo vectorial es la derivada de su derivada con respecto a otros dos campos vectoriales tangentes .
Formalmente, dada una variedad (pseudo) -Riemanniana ( M , g ) asociada con un paquete vectorial E → M , denote ∇ la conexión Levi-Civita dada por la métrica g , y denote por Γ ( E ) el espacio de la lisa secciones del espacio total E . Denotemos por T * M el fibrado cotangente de M . Entonces, la segunda derivada covariante se puede definir como la composición de las dos ∇ de la siguiente manera: [1]
Cuando el tensor de torsión es cero, podemos usar este hecho para escribir el tensor de curvatura de Riemann como [2]
![{\ Displaystyle [u, v] = \ nabla _ {u} v- \ nabla _ {v} u}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5a4a987a2e4ea31d9011c11654b122383a42d780)
Nuevamente, para la conexión Levi-Civita sin torsión, y para cualquier campo vectorial u y v , cuando alimentamos la función f en ambos lados de
Es decir, el valor de la segunda derivada covariante de una función es independiente del orden de tomar derivadas.