Derivada simétrica
En matemáticas , la derivada simétrica es una operación que generaliza la derivada ordinaria . Se define como [1] [2]
La expresión por debajo del límite a veces se denomina cociente de diferencias simétricas . [3] [4] Se dice que una función es simétricamente diferenciable en un punto x si su derivada simétrica existe en ese punto.
Si una función es diferenciable (en el sentido habitual) en un punto, entonces también es simétricamente diferenciable, pero lo contrario no es cierto. Un contraejemplo bien conocido es la función de valor absoluto f ( x ) = | x | , que no es diferenciable en x = 0 , pero es simétricamente diferenciable aquí con derivada simétrica 0. Para funciones diferenciables, el cociente de diferencias simétricas proporciona una mejor aproximación numérica de la derivada que el cociente de diferencias habitual. [3]
La derivada simétrica en un punto dado es igual a la media aritmética de las derivadas izquierda y derecha en ese punto, si las dos últimas existen. [1] [5]
Ni el teorema de Rolle ni el teorema del valor medio se cumplen para la derivada simétrica; se han probado algunas afirmaciones similares pero más débiles.
Para la función de valor absoluto , usando la notación de la derivada simétrica, tenemos en ese
