En el cálculo de una sola variable , el cociente de diferencias suele ser el nombre de la expresión
que cuando se lleva al límite cuando h tiende a 0 da la derivada de la función f . [1] [2] [3] [4] El nombre de la expresión proviene del hecho de que es el cociente de la diferencia de valores de la función por la diferencia de los valores correspondientes de su argumento (este último es ( x + h ) - x = h en este caso). [5] [6] El cociente de diferencias es una medida de la tasa promedio de cambio de la función sobre unintervalo (en este caso, un intervalo de longitud h ). [7] [8] : 237 [9] El límite del cociente de diferencias (es decir, la derivada) es, por tanto, la tasa de cambio instantánea . [9]
Por un ligero cambio en la notación (y el punto de vista), para un intervalo [ a , b ], el cociente de diferencias
se llama [5] el valor medio (o promedio) de la derivada de f en el intervalo [ a , b ]. Este nombre está justificado por el teorema del valor medio , que establece que para una función diferenciable f , su derivada f ′ alcanza su valor medio en algún punto del intervalo. [5] Geométricamente, este cociente de diferencias mide la pendiente de la recta secante que pasa por los puntos con coordenadas ( a , f ( a )) y ( b , f ( b )). [10]
Los cocientes de diferencia se utilizan como aproximaciones en la diferenciación numérica , [8] pero también han sido objeto de críticas en esta aplicación. [11]
La noción típica de cociente de diferencias discutida anteriormente es un caso particular de un concepto más general. El vehículo principal del cálculo y otras matemáticas superiores es la función . Su "valor de entrada" es su argumento , generalmente un punto ("P") expresable en un gráfico. La diferencia entre dos puntos, en sí mismos, se conoce como su Delta (Δ P ), al igual que la diferencia en el resultado de su función, la notación particular está determinada por la dirección de formación:
Diferencia hacia adelante: Δ F ( P ) = F ( P + Δ P ) - F ( P );
Diferencia central: δF (P) = F (P + ½ΔP) - F (P - ½ΔP);
Diferencia hacia atrás: ∇F (P) = F (P) - F (P - ΔP).
La preferencia general es la orientación hacia adelante, ya que F (P) es la base, a la que se le añaden diferencias (es decir, "ΔP" s). Además,
Si | ΔP | es finito (que significa medible), entonces ΔF (P) se conoce como una diferencia finita , con denotaciones específicas de DP y DF (P);
Si | ΔP | es infinitesimal (una cantidad infinitamente pequeña)—Expresado habitualmente en análisis estándar como límite: ), entonces ΔF (P) se conoce como una diferencia infinitesimal , con denotaciones específicas de dP y dF (P) (en las gráficas de cálculo, el punto se identifica casi exclusivamente como "x" y F (x) como "y").
La diferencia de función dividida por la diferencia de puntos se conoce como "cociente de diferencia":
Si ΔP es infinitesimal, entonces el cociente de diferencias es una derivada ; de lo contrario, es una diferencia dividida :
Definición del rango de puntos
Independientemente de si ΔP es infinitesimal o finito, existe (al menos, en el caso de la derivada, teóricamente) un rango de puntos, donde los límites son P ± (0.5) ΔP (dependiendo de la orientación: ΔF (P), δF ( P) o ∇F (P)):
LB = límite inferior; UB = límite superior;
Las derivadas pueden considerarse funciones en sí mismas, que albergan sus propias derivadas. Por tanto, cada función alberga grados secuenciales ("órdenes superiores") de derivación o diferenciación . Esta propiedad se puede generalizar a todos los cocientes de diferencias. Como esta secuencia requiere una división de límites correspondiente, es práctico dividir el rango de puntos en secciones más pequeñas y de igual tamaño, con cada sección marcada por un punto intermedio ( P i ), donde LB = P 0 y UB = P ń , el n- ésimo punto, igual al grado / orden:
LB = P 0 = P 0 + 0Δ 1 P = P ñ - (Ń-0) Δ 1 P; P 1 = P 0 + 1Δ 1 P = P ñ - (Ń-1) Δ 1 P; P 2 = P 0 + 2Δ 1 P = P ñ - (Ń-2) Δ 1 P; P 3 = P 0 + 3Δ 1 P = P ñ - (Ń-3) Δ 1 P; ↓ ↓ ↓ ↓ P ñ-3 = P 0 + (Ń-3) Δ 1 P = P ñ - 3Δ 1 P; P ñ-2 = P 0 + (Ń-2) Δ 1 P = P ñ - 2Δ 1 P; P ñ-1 = P 0 + (Ń-1) Δ 1 P = P ñ - 1Δ 1 P; UB = P ñ-0 = P 0 + (Ń-0) Δ 1 P = P ñ - 0Δ 1 P = P ń ;
ΔP = Δ 1 P = P 1 - P 0 = P 2 - P 1 = P 3 - P 2 = ... = P ñ - P ń-1 ;
ΔB = UB - LB = P ń - P 0 = Δ ń P = ŃΔ 1 P.
El cociente de diferencia principal ( Ń = 1)
Como un derivado
El cociente de diferencias como derivada no necesita explicación, aparte de señalar que, dado que P 0 es esencialmente igual a P 1 = P 2 = ... = P ñ (ya que las diferencias son infinitesimales), la notación de Leibniz y las expresiones derivadas no lo hacen. distinguir P a P 0 o P ñ :
Sin embargo, una diferencia dividida requiere una mayor aclaración, ya que es igual a la derivada promedio entre LB y UB, inclusive:
En esta interpretación, P ã representa una función extraída, el valor promedio de P (rango medio, pero generalmente no exactamente el punto medio), la valoración particular depende del promedio de la función de la que se extrae. Más formalmente, P ã se encuentra en el teorema del cálculo del valor medio , que dice:
Para cualquier función que sea continua en [LB, UB] y diferenciable en (LB, UB) existe algo de P ã en el intervalo (LB, UB) tal que la secante que une los puntos finales del intervalo [LB, UB] es paralela a la tangente en P ã .
Esencialmente, P ã denota algún valor de P entre LB y UB; por lo tanto,
que vincula el resultado del valor medio con la diferencia dividida:
Como no es, por su propia definición, una diferencia tangible entre LB / P 0 y UB / P ñ , la Leibniz y expresiones derivados no requiere bifurcación del argumento de la función.
Cocientes de diferencias de orden superior
Segundo orden
Tercer orden
N º orden
Aplicando la diferencia dividida
La aplicación por excelencia de la diferencia dividida está en la presentación de la integral definida, que no es más que una diferencia finita:
Dado que el valor medio, la forma de expresión derivada proporciona toda la misma información que la notación integral clásica, la forma del valor medio puede ser la expresión preferible, como en los lugares de escritura que solo admiten / aceptan texto ASCII estándar , o en casos que solo requieren la derivada promedio (como cuando se encuentra el radio promedio en una integral elíptica). Esto es especialmente cierto para integrales definidas que técnicamente tienen (por ejemplo) 0 y o como límites, con la misma diferencia dividida encontrada que con los límites de 0 y (por lo que requiere menos esfuerzo promedio):
Esto también se hace particularmente útil cuando se trata con iterada y múltiple integral s (? A = AU - AL,? B = BU - BL,? C = CU - CL):
Por eso,
y
Ver también
Diferencias divididas
Teoría de Fermat
Polinomio de Newton
Método de rectángulo
Regla del cociente
Cociente de diferencias simétricas
Referencias
^ Peter D. Lax; Maria Shea Terrell (2013). Cálculo con aplicaciones . Saltador. pag. 119. ISBN 978-1-4614-7946-8.
^Shirley O. Hockett; David Bock (2005). Barron cómo prepararse para el cálculo AP . Serie educativa de Barron. pag. 44 . ISBN 978-0-7641-2382-5.
^Mark Ryan (2010). Fundamentos de cálculo para principiantes . John Wiley e hijos. págs. 41–47. ISBN 978-0-470-64269-6.
^Karla Neal; R. Gustafson; Jeff Hughes (2012). Precálculo . Aprendizaje Cengage. pag. 133. ISBN 978-0-495-82662-0.
^ a b cMichael Comenetz (2002). Cálculo: los elementos . World Scientific. págs. 71–76 y 151–161. ISBN 978-981-02-4904-5.
^Moritz Pasch (2010). Ensayos sobre los fundamentos de las matemáticas de Moritz Pasch . Saltador. pag. 157. ISBN 978-90-481-9416-2.
^Frank C. Wilson; Scott Adamson (2008). Cálculo aplicado . Aprendizaje Cengage. pag. 177. ISBN 978-0-618-61104-1.
^ a bTamara Lefcourt Ruby; James Sellers; Lisa Korf; Jeremy Van Horn; Mike Munn (2014). Kaplan AP Calculus AB y BC 2015 . Publicaciones Kaplan. pag. 299. ISBN 978-1-61865-686-5.
^ a bThomas Hungerford; Douglas Shaw (2008). Precálculo contemporáneo: un enfoque gráfico . Aprendizaje Cengage. págs. 211–212. ISBN 978-0-495-10833-7.
^ a bSteven G. Krantz (2014). Fundamentos del análisis . Prensa CRC. pag. 127. ISBN 978-1-4822-2075-9.
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^Serge Lang (1968). Análisis 1 . Compañía editorial de Addison-Wesley. pag. 56 .
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^Christopher Clapham; James Nicholson (2009). El Diccionario Conciso de Oxford de Matemáticas . Prensa de la Universidad de Oxford. pag. 313 . ISBN 978-0-19-157976-9.
^ Donald C. Benson, Un guijarro más suave: Exploraciones matemáticas , Oxford University Press, 2003, p. 176.
enlaces externos
Colegio San Vicente: fr. David Carlson, OSB— MA109 El cociente de diferencia
Universidad de Birmingham: Dirk Hermans— Divided Differences
Mathworld:
Diferencia dividida
Teorema del valor medio
Universidad de Wisconsin: Thomas W. Reps y Louis B. Rall: diferenciación dividida computacional y aritmética de diferencia dividida
Simulador interactivo de cociente de diferencias para explicar la derivada