Invariantes de Seiberg-Witten

En matemáticas, y especialmente en la teoría de gauge , los invariantes de Seiberg-Witten son invariantes de 4 variedades compactas y suaves orientadas introducidas por Edward Witten ( 1994 ), utilizando la teoría de Seiberg-Witten estudiada por Nathan Seiberg y Witten ( 1994a , 1994b ) durante sus investigaciones de Teoría del calibre de Seiberg-Witten .

Los invariantes de Seiberg-Witten son similares a los invariantes de Donaldson y pueden usarse para probar resultados similares (pero a veces un poco más fuertes) sobre 4-variedades suaves. Técnicamente, es mucho más fácil trabajar con ellos que los invariantes de Donaldson; por ejemplo, los espacios de módulos de soluciones de las ecuaciones de Seiberg-Witten tienden a ser compactos, por lo que se evitan los difíciles problemas que implica la compactación de los espacios de módulos en la teoría de Donaldson.

Para descripciones detalladas de las invariantes de Seiberg-Witten, ver ( Donaldson 1996 ), ( Moore 2001 ), ( Morgan 1996 ), ( Nicolaescu 2000 ), ( Scorpan 2005 , Capítulo 10). Para la relación con las variedades simplécticas y las invariantes de Gromov-Witten, ver ( Taubes 2000 ). Para la historia temprana, ver ( Jackson 1995 ).

donde actúa como signo en ambos factores. El grupo tiene un homomorfismo natural a SO (4) = Spin (4) / ± 1 . ${\ Displaystyle \ mathbb {Z} / 2 \ mathbb {Z}}$

Dado un colector de 4 orientado compacto, elija una métrica Riemanniana suave con conexión Levi Civita . Esto reduce el grupo de estructura del componente conectado GL (4) ₊ a SO (4) y es inofensivo desde un punto de vista homotópico. Una estructura de Spin ^c o una estructura de spin compleja en M es una reducción del grupo de estructura a Spin ^c , es decir, una elevación de la estructura SO (4) en el haz tangente al grupo Spin ^c . Según un teorema de Hirzebruch y Hopf , cada colector 4 compacto de orientación suave admite una estructura Spin ^c . ^[1] ${\ Displaystyle g}$ ${\ Displaystyle \ nabla ^ {g}}$ ${\ Displaystyle M}$ La existencia de una estructura Spin ^c es equivalente a la existencia de una elevación de la segunda clase Stiefel-Whitney a una clase A la inversa, dicha elevación determina la estructura Spin ^c hasta 2 torsión en Una estructura de spin propiamente dicha ${\ Displaystyle w_ {2} (M) \ in H ^ {2} (M, \ mathbb {Z} / 2 \ mathbb {Z})}$ ${\ Displaystyle K \ in H ^ {2} (X, \ mathbb {Z}).}$ ${\ Displaystyle H ^ {2} (X, \ mathbb {Z}).}$ ${\ Displaystyle w_ {2} (M) = 0.}$