Estructura de giro

En geometría diferencial , una estructura de espín en una variedad riemanniana orientable ( M , g ) permite definir haces de espinores asociados , dando lugar a la noción de espino en geometría diferencial.

Las estructuras de espín tienen amplias aplicaciones en la física matemática , en particular en la teoría cuántica de campos, donde son un ingrediente esencial en la definición de cualquier teoría con fermiones no cargados . Son también de interés puramente matemático en geometría diferencial , la topología algebraica , y teoría K . Forman la base de la geometría de espín .

Visión general

En geometría y en teoría de campos , los matemáticos se preguntan si una variedad Riemanniana orientada dada ( M , g ) admite espinores . Un método para lidiar con este problema es requerir que M tenga una estructura de espín. ^{[1] [2] [3]} Esto no siempre es posible ya que existe potencialmente una obstrucción topológica a la existencia de estructuras de espín. Las estructuras de espín existirán si y solo si la segunda clase Stiefel-Whitney w ₂ ( M ) ∈ H ² ( M , Z ₂ ) de Mdesaparece. Además, si w ₂ ( M ) = 0, H ¹ ( M , Z ₂ ) actúa libre y transitivamente sobre el conjunto de clases de isomorfismo de estructuras de espín en M. Como se supone que la variedad M está orientada, la primera clase Stiefel-Whitney w ₁ ( M ) ∈ H ¹ ( M , Z ₂ ) de M también desaparece. (Las clases de Stiefel-Whitney w _i ( M ) ∈ H ⁱ ( M , Z ₂) de una variedad M se definen como las clases Stiefel-Whitney de su paquete tangente TM .)

El paquete de espinores π _S : S → M sobre M es entonces el paquete de vectores complejos asociado con el paquete principal correspondiente π _P : P → M de marcos de espín sobre M y la representación de espín de su grupo de estructura Spin ( n ) en el espacio de espinores Δ _n . El haz de S se llama el haz spinor para una estructura de giro dado en M .

Una definición precisa de estructura de hilado en colector sólo fue posible después de que se introdujera la noción de haz de fibras ; André Haefliger (1956) encontró la obstrucción topológica a la existencia de una estructura de espín en una variedad riemanniana orientable y Max Karoubi (1968) extendió este resultado al caso pseudo-riemanniano no orientable. ^{[4] [5]}

Estructuras de espín en variedades de Riemann

Definición

Una estructura de espín en una variedad riemanniana orientable (M, g) es una elevación equivariante del paquete de marco ortonormal orientado F _SO ( M ) → M con respecto a la doble cobertura ρ: Spin ( n ) → SO ( n ). En otras palabras, un par ( P , F _P ) es una estructura de espín en el paquete principal π: F _SO ( M ) → M cuando

a) π _P : P → M es un paquete Spin ( n ) principal sobre M ,

b) F _P : P → F _SO ( M ) es un mapa de cobertura de 2 pliegues equivariante tal que

${\displaystyle \pi \circ F_{\mathbf {P} }=\pi _{\mathbf {P} }}$y F _P ( p q ) = F _P ( p ) ρ ( q ) para todo p ∈ P y q ∈ Spin ( n ).

El fibrado principal π _P : P → M es también llamado el paquete de marcos de espín más de M .

Dos estructuras de espín ( P ₁ , F _{P 1} ) y ( P ₂ , F _{P 2} ) en la misma variedad riemanniana orientada (M, g) se denominan "equivalentes" si existe un mapa Spin ( n ) -equivariante f : P ₁ → P ₂ tal que

${\displaystyle F_{\mathbf {P} _{2}}\circ f=F_{\mathbf {P} _{1}}}$y f ( p q ) = f ( p ) q para todos y q ∈ Girar ( n ).${\displaystyle {\mathbf {p} }\in {\mathbf {P} _{1}}}$

Por supuesto, en este caso y son dos recubrimientos dobles equivalentes del marco ortonormal orientado SO ( n ) -bundle F _SO ( M ) → M de la variedad Riemanniana dada (M, g) .${\displaystyle F_{\mathbf {P} _{1}}}$${\displaystyle F_{\mathbf {P} _{2}}}$

Esta definición de estructura de espín en ( M , g ) como una estructura de espín en el paquete principal F _SO ( M ) → M se debe a André Haefliger (1956).

Obstrucción

André Haefliger ^[1] encontró condiciones necesarias y suficientes para la existencia de una estructura de espín en una variedad riemanniana orientada ( M , g ). La obstrucción para tener una estructura de espín es un cierto elemento [ k ] de H ² ( M , Z ₂ ). Para una estructura de giro de la clase [ k ] es la segunda clase Stiefel-Whitney w ₂ ( M ) ∈ H ² ( M , Z ₂ ) de M . Por lo tanto, existe una estructura de espín si y solo si la segunda clase Stiefel-Whitney w ₂( M ) ∈ H ² ( M , Z ₂ ) de M desaparece.

Girar estructuras en paquetes de vectores

Sea M una variedad topológica paracompacta y E un haz de vectores orientados en M de dimensión n equipado con una métrica de fibra . Esto significa que en cada punto de M , la fibra de E es un espacio de producto interno . Un haz de espinorial E es una receta para asociar sistemáticamente una representación giro a todos los puntos de M . Existen obstrucciones topológicas para poder hacerlo y, en consecuencia, un determinado paquete Eno puede admitir ningún paquete de espinor. En caso de que lo haga, se dice que el paquete E es spin .

Esto puede hacerse riguroso mediante el lenguaje de los paquetes principales . La colección de marcos ortonormales orientados de un paquete de vectores forma un paquete de marcos P _SO ( E ), que es un paquete principal bajo la acción del grupo ortogonal especial SO ( n ). Una estructura de giro para P _SO ( E ) es una elevación de P _SO ( E ) a un paquete principal P _Spin ( E ) bajo la acción del grupo de giro Spin ( n), con lo cual queremos decir que existe un mapa de paquetes φ: P _Spin ( E ) → P _SO ( E ) tal que

${\displaystyle \phi (pg)=\phi (p)\rho (g)}$, para todo p ∈ P _Spin ( E ) y g ∈ Spin ( n ) ,

donde ρ  : Spin ( n ) → SO ( n ) es el mapeo de grupos que presentan el grupo de spin como una doble cobertura de SO ( n ).

En el caso especial en el que E es el haz tangente TM sobre la variedad base M , si existe una estructura de espín, entonces se dice que M es una variedad de espín . Equivalentemente M es espín si el haz principal SO ( n ) de bases ortonormales de las fibras tangentes de M es un cociente Z ₂ de un haz principal de espín.

Si la variedad tiene una descomposición celular o una triangulación , una estructura de espín puede considerarse de manera equivalente como una clase de homotopía de trivialización del paquete tangente sobre el esqueleto 1 que se extiende sobre el esqueleto 2. Si la dimensión es menor que 3, primero se toma una suma de Whitney con un paquete de líneas trivial.

Obstrucción y clasificación

Para un paquete vectorial orientable , existe una estructura de espín si y solo si la segunda clase Stiefel-Whitney desaparece. Este es el resultado de Armand Borel y Friedrich Hirzebruch . ^[6] Además, en el caso de espín, el número de estructuras de espín están en biyección con . Estos resultados se pueden probar fácilmente ^[7] págs . ^110-111 utilizando un argumento de secuencia espectral para el paquete principal asociado . Fíjate que esto da una fibración. ${\displaystyle \pi _{E}:E\to M}$${\displaystyle E}$ ${\displaystyle w_{2}(E)}$${\displaystyle E\to M}$${\displaystyle H^{1}(M,\mathbb {Z} /2)}$${\displaystyle SO(n)}$${\displaystyle P_{E}\to M}$

${\displaystyle SO(n)\to P_{E}\to M}$

de ahí que se pueda aplicar la secuencia espectral de Serre . De la teoría general de secuencias espectrales, hay una secuencia exacta

${\displaystyle 0\to E_{3}^{0,1}\to E_{2}^{0,1}\xrightarrow {d_{2}} E_{2}^{2,0}\to E_{3}^{2,0}\to 0}$

dónde

${\displaystyle {\begin{aligned}E_{2}^{0,1}&=H^{0}(M,H^{1}(SO(n),\mathbb {Z} /2))=H^{1}(SO(n),\mathbb {Z} /2)\\E_{2}^{2,0}&=H^{2}(M,H^{0}(SO(n),\mathbb {Z} /2))=H^{2}(M,\mathbb {Z} /2)\end{aligned}}}$

Además, y para un poco de filtración , obtenemos un mapa${\displaystyle E_{\infty }^{0,1}=E_{3}^{0,1}}$${\displaystyle E_{\infty }^{0,1}=H^{1}(P_{E},\mathbb {Z} /2)/F^{1}(H^{1}(P_{E},\mathbb {Z} /2))}$${\displaystyle H^{1}(P_{E},\mathbb {Z} /2)}$

${\displaystyle H^{1}(P_{E},\mathbb {Z} /2)\to E_{3}^{0,1}}$

dando una secuencia exacta

${\displaystyle H^{1}(P_{E},\mathbb {Z} /2)\to H^{1}(SO(n),\mathbb {Z} /2)\to H^{2}(M,\mathbb {Z} /2)}$

Ahora, una estructura de espín es exactamente una doble cobertura de encajar en un diagrama conmutativo.${\displaystyle P_{E}}$

${\displaystyle {\begin{matrix}Spin(n)&\to &{\tilde {P}}_{E}&\to &M\\\downarrow &&\downarrow &&\downarrow \\SO(n)&\to &P_{E}&\to &M\end{matrix}}}$

donde los dos mapas verticales de la izquierda son los mapas de doble cobertura. Ahora, las cubiertas dobles de están en biyección con subgrupos de índice de , que está en biyección con el conjunto de morfismos de grupo . Pero, del teorema de Hurewicz y el cambio de coeficientes, este es exactamente el grupo de cohomología . Aplicando el mismo argumento a , la cobertura no trivial corresponde a , y el mapa a es precisamente , por lo tanto . Si desaparece, entonces la imagen inversa de debajo del mapa${\displaystyle P_{E}}$${\displaystyle 2}$${\displaystyle \pi _{1}(P_{E})}$${\displaystyle {\text{Hom}}(\pi _{1}(E),\mathbb {Z} /2)}$${\displaystyle H^{1}(P_{E},\mathbb {Z} /2)}$${\displaystyle SO(n)}$${\displaystyle Spin(n)\to SO(n)}$${\displaystyle 1\in H^{1}(SO(n),\mathbb {Z} /2)=\mathbb {Z} /2}$${\displaystyle H^{2}(M,\mathbb {Z} /2)}$${\displaystyle w_{2}}$${\displaystyle w_{2}(1)=w_{2}(E)}$${\displaystyle 1}$

${\displaystyle H^{1}(P_{E},\mathbb {Z} /2)\to H^{1}(SO(n),\mathbb {Z} /2)}$

es el conjunto de dobles revestimientos que dan estructuras de giro. Ahora, este subconjunto de se puede identificar con , mostrando que este último grupo de cohomología clasifica las diversas estructuras de espín en el paquete de vectores . Esto se puede hacer observando la larga secuencia exacta de grupos de homotopía de la fibración.${\displaystyle H^{1}(P_{E},\mathbb {Z} /2)}$${\displaystyle H^{1}(M,\mathbb {Z} /2)}$${\displaystyle E\to M}$

${\displaystyle \pi _{1}(SO(n))\to \pi _{1}(P_{E})\to \pi _{1}(M)\to 1}$

y aplicando , dando la secuencia de grupos de cohomología${\displaystyle {\text{Hom}}(-,\mathbb {Z} /2)}$

${\displaystyle 0\to H^{1}(M,\mathbb {Z} /2)\to H^{1}(P_{E},\mathbb {Z} /2)\to H^{1}(SO(n),\mathbb {Z} /2)}$

Debido a que es el kernel y la imagen inversa de está en biyección con el kernel, tenemos el resultado deseado.${\displaystyle H^{1}(M,\mathbb {Z} /2)}$${\displaystyle 1\in H^{1}(SO(n),\mathbb {Z} /2)}$

Observaciones sobre clasificación

Cuando existen estructuras de espín, las estructuras de espín no equivalentes en una variedad tienen una correspondencia uno a uno (no canónica) con los elementos de H ¹ ( M , Z ₂ ), que por el teorema del coeficiente universal es isomorfo a H ₁ ( M , Z ₂ ). Más precisamente, el espacio de las clases de isomorfismo de estructuras de espín es un espacio afín sobre H ¹ ( M , Z ₂ ).

Intuitivamente, para cada ciclo no trivial en M, una estructura de espín corresponde a una elección binaria de si una sección del paquete SO ( N ) cambia de hoja cuando una rodea el bucle. Si w ₂ ^[8] se anula entonces estas opciones pueden ser extendidos sobre el de dos esqueleto , entonces (por la teoría de obstrucción ) que pueden ser extendidos de forma automática sobre la totalidad de M . En física de partículas, esto corresponde a una elección de condiciones de contorno periódicas o antiperiódicas para los fermiones que rodean cada bucle. Tenga en cuenta que en una variedad compleja, la segunda clase Stiefel-Whitney se puede calcular como la primera${\displaystyle X}$clase chern .${\displaystyle {\text{mod }}2}$

Ejemplos de

1. Una superficie de Riemann del género g admite estructuras de espín no equivalentes de 2 ^{2 g} ; ver la característica theta .
2. Si H ² ( M , Z ₂ ) desaparece, M es spin . Por ejemplo, S ⁿ es giro para todos . (Tenga en cuenta que S ² también es giro , pero por diferentes razones; consulte a continuación).${\displaystyle n\neq 2}$
3. El plano proyectivo complejo CP ² no es espín .
4. De manera más general, todos los espacios proyectivos complejos CP ^{2 n de} dimensión uniforme no son espín .
5. Todos los espacios proyectivos complejos de dimensión impar CP ^{2n + 1} son espín .
6. Todos los colectores compactos orientables de dimensión 3 o menos son giratorios .
7. Todas las variedades Calabi – Yau son spin .

Propiedades

• El género  de una variedad de espín es un número entero, y es un número entero par si además la dimensión es 4 mod 8.

  En general, el género  es un invariante racional, definido para cualquier variedad, pero en general no es un número entero.

  Esto fue probado originalmente por Hirzebruch y Borel , y puede ser probado por el teorema del índice de Atiyah-Singer , al realizar el género  como el índice de un operador de Dirac - un operador de Dirac es una raíz cuadrada de un operador de segundo orden, y existe debido a a la estructura de giro que es una "raíz cuadrada". Este fue un ejemplo motivador para el teorema del índice.

Estructuras Spin ^C

Una estructura de espín ^C es análoga a una estructura de espín en una variedad riemanniana orientada , ^[9] pero usa el grupo Spin ^C , que se define en cambio por la secuencia exacta

${\displaystyle 1\to \mathbb {Z} _{2}\to \operatorname {Spin} ^{\mathbf {C} }(n)\to \operatorname {SO} (n)\times \operatorname {U} (1)\to 1.}$

Para motivar esto, suponga que κ  : Spin ( n ) → U ( N ) es una representación de espinor compleja. El centro de U ( N ) está formado por los elementos diagonales procedentes de la inclusión i  : U (1) → U ( N ) , es decir, los múltiplos escalares de la identidad. Por tanto hay un homomorfismo

${\displaystyle \kappa \times i\colon {\mathrm {Spin} }(n)\times {\mathrm {U} }(1)\to {\mathrm {U} }(N).}$

Esto siempre tendrá el elemento (−1, −1) en el kernel. Tomando el cociente módulo este elemento da el grupo Spin ^C ( n ). Este es el producto retorcido

${\displaystyle {\mathrm {Spin} }^{\mathbb {C} }(n)={\mathrm {Spin} }(n)\times _{\mathbb {Z} _{2}}{\mathrm {U} }(1)\,,}$

donde U (1) = SO (2) = S ¹ . En otras palabras, el grupo Spin ^C ( n ) es una extensión central de SO ( n ) por S ¹ .

Visto de otra manera, Spin ^C ( n ) es el grupo cociente obtenido de Spin ( n ) × Spin (2) con respecto al Z ₂ normal que es generado por el par de transformaciones de cobertura para los paquetes Spin ( n ) → SO ( n ) y Spin (2) → SO (2) respectivamente. Esto hace que el grupo Spin ^{C sea} un paquete sobre el círculo con fibra Spin ( n ) y un paquete sobre SO ( n ) con fibra un círculo. ^{[10] [11]}

El grupo fundamental π ₁ (Spin ^C ( n )) es isomorfo a Z si n ≠ 2, y a Z ⊕ Z si n = 2.

Si la variedad tiene una descomposición celular o una triangulación , una estructura de espín ^C se puede pensar de manera equivalente como una clase de homotopía de estructura compleja sobre el esqueleto 2 que se extiende sobre el esqueleto 3. De manera similar al caso de las estructuras de espín, se toma una suma de Whitney con un paquete lineal trivial si la variedad es de dimensión impar.

Sin embargo, otra definición es que un giro ^C estructura en un colector de N es un complejo de línea de haz L sobre N junto con una estructura de giro en T N ⊕ L .

Obstrucción

Existe una estructura de espín ^C cuando el paquete es orientable y la segunda clase Stiefel-Whitney del paquete E está en la imagen del mapa H ² ( M , Z ) → H ² ( M , Z / 2 Z ) (en otras palabras , la tercera clase integral Stiefel-Whitney desaparece). En este caso se dice que E es centrifugado ^C . Intuitivamente, la elevación da la clase Chern del cuadrado de la parte U (1) de cualquier giro ^C obtenidomanojo. Según un teorema de Hopf e Hirzebruch, los 4 colectores cerrados orientables siempre admiten una estructura de espín ^C.

Clasificación

Cuando una variedad lleva una estructura de espín ^C , el conjunto de estructuras de espín ^C forma un espacio afín. Además, el conjunto de estructuras de espín ^C tiene una acción transitiva libre de H ² ( M , Z ) . Por tanto, las estructuras de espín ^C corresponden a elementos de H ² ( M , Z ) aunque no de forma natural.

Imagen geométrica

Esto tiene la siguiente interpretación geométrica, que se debe a Edward Witten . Cuando la estructura de espín ^C es distinta de cero, este paquete de raíz cuadrada tiene una clase Chern no integral, lo que significa que falla la condición de triple superposición . En particular, el producto de las funciones de transición en una intersección de tres vías no siempre es igual a uno, como se requiere para un paquete principal . En cambio, a veces es -1.

Esta falla ocurre precisamente en las mismas intersecciones que una falla idéntica en los productos triples de las funciones de transición del haz de espín obstruido . Por lo tanto, los productos triples de las funciones de transición del paquete de espín completo ^c , que son los productos del producto triple de los paquetes de componentes de espín y U (1), son 1 ² = 1 o (−1) ² = 1 y así el paquete de espín ^C satisface la condición de triple superposición y, por lo tanto, es un paquete legítimo.

Los detalles

La imagen geométrica intuitiva anterior se puede concretar de la siguiente manera. Considere la secuencia exacta corta 0 → Z → Z → Z ₂ → 0 , donde la segunda flecha es multiplicación por 2 y la tercera es módulo de reducción 2. Esto induce una secuencia exacta larga en cohomología, que contiene

${\displaystyle \dots \longrightarrow {\textrm {H}}^{2}(M;\mathbf {Z} ){\stackrel {2}{\longrightarrow }}{\textrm {H}}^{2}(M;\mathbf {Z} )\longrightarrow {\textrm {H}}^{2}(M;\mathbf {Z} _{2}){\stackrel {\beta }{\longrightarrow }}{\textrm {H}}^{3}(M;\mathbf {Z} )\longrightarrow \dots ,}$

donde la segunda flecha es inducida por multiplicación por 2, la tercera es inducida por restricción módulo 2 y la cuarta es el homomorfismo β de Bockstein asociado .

La obstrucción a la existencia de un haz de espines es un elemento w ₂ de H ² ( M , Z ₂ ) . Refleja el hecho de que uno siempre puede elevar localmente un paquete SO (n) a un paquete de espín , pero es necesario elegir una elevación Z ₂ de cada función de transición, que es una elección de signo. La elevación no existe cuando el producto de estos tres signos en una superposición triple es -1, lo que produce la imagen de cohomología Čech de w ₂ .

Para cancelar esta obstrucción, se tensa este paquete de giro con un paquete U (1) con la misma obstrucción w ₂ . Observe que esto es un abuso de la palabra paquete , ya que ni el paquete de espín ni el paquete U (1) satisfacen la condición de triple superposición y, por lo tanto, ninguno es realmente un paquete.

Un paquete U (1) legítimo se clasifica por su clase Chern , que es un elemento de H ² ( M , Z ). Identifique esta clase con el primer elemento en la secuencia exacta anterior. La siguiente flecha duplica esta clase de Chern, por lo que los paquetes legítimos corresponderán a elementos pares en el segundo H ² ( M , Z ) , mientras que los elementos impares corresponderán a paquetes que no superen la condición de triple superposición. La obstrucción entonces se clasifica por la falla de un elemento en el segundo H ² ( M , Z ) para estar en la imagen de la flecha, que, por exactitud, se clasifica por su imagen en H ²( M , Z ₂ ) debajo de la siguiente flecha.

Para cancelar la obstrucción correspondiente en el paquete de centrifugado , esta imagen debe ser w ₂ . En particular, si w ₂ no está en la imagen de la flecha, entonces no existe ningún paquete U (1) con una obstrucción igual a w ₂ y, por lo tanto, la obstrucción no se puede cancelar. Por exactitud, w ₂ está en la imagen de la flecha anterior solo si está en el núcleo de la siguiente flecha, que recordamos es el homomorfismo de Bockstein β. Es decir, la condición para la cancelación de la obstrucción es

${\displaystyle W_{3}=\beta w_{2}=0}$

donde hemos utilizado el hecho de que la tercera clase integral de Stiefel-Whitney W ₃ es el Bockstein de la segunda clase de Stiefel-Whitney w ₂ (esto puede tomarse como una definición de W ₃ ).

Ascensores integrales de las clases Stiefel-Whitney

Este argumento también demuestra que la segunda clase Stiefel-Whitney define elementos no sólo de la cohomología Z ₂ sino también de la cohomología integral en un grado superior. De hecho, este es el caso de todas las clases, incluso de Stiefel-Whitney. Es tradicional utilizar una W mayúscula para las clases resultantes en grado impar, que se denominan clases integrales de Stiefel-Whitney, y están etiquetadas por su grado (que siempre es impar).

Ejemplos de

1. Todos orientados múltiples lisos de dimensión 4 o menos son giro ^C . ^[12]
2. Todos los colectores casi complejas son giro ^C .
3. Todos giro colectores son giro ^C .

Aplicación a la física de partículas

En física de partículas, el teorema de la estadística de espín implica que la función de onda de un fermión sin carga es una sección del paquete de vectores asociado a la elevación de espín de un paquete E de SO ( N ) . Por lo tanto, la elección de la estructura de giro es parte de los datos necesarios para definir la función de onda y, a menudo, es necesario sumar estas opciones en la función de partición . En muchas teorías físicas, E es el haz tangente , pero para los fermiones en los volúmenes mundiales de D-branas en la teoría de cuerdas es unpaquete normal .

En la teoría cuántica de campos, los espinores cargados son secciones de haces de espín ^c asociados y, en particular, no pueden existir espinores cargados en un espacio que no sea de espín ^c . Surge una excepción en algunas teorías de supergravedad donde interacciones adicionales implican que otros campos pueden cancelar la tercera clase Stiefel-Whitney. La descripción matemática de los espinores en la supergravedad y la teoría de cuerdas es un problema abierto particularmente sutil, que se abordó recientemente en las referencias. ^{[13] [14]}Resulta que la noción estándar de estructura de espín es demasiado restrictiva para aplicaciones a la supergravedad y la teoría de cuerdas, y que la noción correcta de estructura espinorial para la formulación matemática de estas teorías es una "estructura de Lipschitz". ^{[13] [15]}

Ver también

• Estructura metapléctica
• Paquete de armazón ortonormal
• Spinor

Referencias

1. Haefliger, A. (1956). "Sur l'extension du groupe estructural d'un espace fibré". CR Acad. Sci. París . 243 : 558–560.
2. J. Milnor (1963). "Spin estructuras en colectores". L'Enseignement Mathématique . 9 : 198-203.
3. Lichnerowicz, A. (1964). "Champs spinoriels et propagateurs en rélativité générale" . Toro. Soc. Matemáticas. Fr . 92 : 11-100. doi : 10.24033 / bsmf.1604 .
4. Karoubi, M. (1968). "Algèbres de Clifford et K-théorie" . Ana. Sci. CE. Norma. Supér . 1 (2): 161–270. doi : 10.24033 / asens.1163 .
5. Alagia, HR; Sánchez, CU (1985), "Estructuras de espín en variedades pseudo-riemannianas" (PDF) , Revista de la Unión Matemática Argentina , 32 : 64–78
6. Borel, A .; Hirzebruch, F. (1958). "Clases características y espacios homogéneos I". Revista Estadounidense de Matemáticas . 80 (2): 97-136. doi : 10.2307 / 2372795 . JSTOR 2372795 . 
7. Pati, Vishwambhar. "Complejos elípticos y teoría de índices" (PDF) . Archivado (PDF) desde el original el 20 de agosto de 2018.
8. "Spin múltiple y la segunda clase Stiefel-Whitney" . Math.Stachexchange .
9. Lawson, H. Blaine; Michelsohn, Marie-Louise (1989). Gire la geometría . Prensa de la Universidad de Princeton . pag. 391 . ISBN 978-0-691-08542-5.
10. R. Gompf (1997). " Spin ^{c -} estructuras y equivalencias de homotopía ". Geometría y topología . 1 : 41–50. arXiv : matemáticas / 9705218 . Bibcode : 1997math ...... 5218G . doi : 10.2140 / gt.1997.1.41 . S2CID 6906852 . 
11. Friedrich, Thomas (2000). Operadores de Dirac en geometría riemanniana . Sociedad Matemática Estadounidense . pag. 26 . ISBN 978-0-8218-2055-1.
12. Gompf, Robert E .; Stipsicz, Andras I. (1999). 4-Manifolds y cálculo de Kirby . Sociedad Matemática Estadounidense . pp.  55 -58, 186-187. ISBN 0-8218-0994-6.
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Otras lecturas

• Lawson, H. Blaine; Michelsohn, Marie-Louise (1989). Gire la geometría . Prensa de la Universidad de Princeton . ISBN 978-0-691-08542-5.
• Friedrich, Thomas (2000). Operadores de Dirac en geometría riemanniana . Sociedad Matemática Estadounidense . ISBN 978-0-8218-2055-1.
• Karoubi, Max (2008). K-Teoría . Saltador. págs. 212-214. ISBN 978-3-540-79889-7.
• Greub, Werner; Petry, Herbert-Rainer (2006) [1978]. "Sobre el levantamiento de grupos estructurales" . Métodos geométricos diferenciales en física matemática II . Apuntes de clase en matemáticas. 676 . Springer-Verlag. págs. 217–246. doi : 10.1007 / BFb0063673 . ISBN 9783540357216.
• Scorpan, Alexandru (2005). "4.5 Notas Estructuras de espín, la definición de grupo de estructura; Equivalencia de las definiciones de" . El salvaje mundo de las 4 variedades . Sociedad Matemática Estadounidense. págs. 174-189. ISBN 9780821837498.

enlaces externos

• Algo sobre Spin Structures de Sven-S. Porst es una breve introducción a las estructuras de orientación y giro para estudiantes de matemáticas.