En la teoría de categorías , una rama de las matemáticas , la dualidad es una correspondencia entre las propiedades de una categoría C y las propiedades duales de la categoría opuesta C op . Dada una declaración con respecto a la categoría C , al intercambiar la fuente y el destino de cada morfismo , así como al intercambiar el orden de composición de dos morfismos, se obtiene una declaración dual correspondiente con respecto a la categoría opuesta C op. La dualidad, como tal, es la afirmación de que la verdad es invariante bajo esta operación sobre los enunciados. En otras palabras, si un enunciado es verdadero sobre C , entonces su enunciado dual es verdadero sobre C op . Además, si un enunciado es falso sobre C , entonces su dual tiene que ser falso sobre C op .
Dada una categoría concreta C , a menudo sucede que la categoría opuesta C op per se es abstracta. C op no tiene por qué ser una categoría que surja de la práctica matemática. En este caso, también se dice que otra categoría D está en dualidad con C si D y C op son equivalentes como categorías .
Definimos el lenguaje elemental de la teoría de categorías como el lenguaje de primer orden de dos tipos con objetos y morfismos como tipos distintos, junto con las relaciones de un objeto que es la fuente o el objetivo de un morfismo y un símbolo para componer dos morfismos.
De manera informal, estas condiciones establecen que el dual de una declaración se forma invirtiendo flechas y composiciones .
La dualidad es la observación de que σ es verdadera para alguna categoría C si y solo si σ op es verdadera para C op . [2] [3]
Aplicando la dualidad, esto significa que un morfismo en alguna categoría C es un monomorfismo si y solo si el morfismo inverso en la categoría opuesta C op es un epimorfismo.