En matemáticas , especialmente en el área del álgebra abstracta conocida como teoría de módulos , un módulo semisimple o módulo completamente reducible es un tipo de módulo que puede entenderse fácilmente a partir de sus partes. Un anillo que es un módulo semisimple sobre sí mismo se conoce como anillo semisimple artiniano . Algunos anillos importantes, como los anillos de grupo de grupos finitos sobre campos de característica cero, son anillos semisimples. Un anillo artiniano se entiende inicialmente a través de su mayor cociente semisimple. La estructura de los anillos semisimples de Artinian es bien entendida por losTeorema de Artin-Wedderburn , que exhibe estos anillos como productos directos finitos de anillos de matriz .
Se dice que un módulo sobre un anillo (no necesariamente conmutativo) es semisimple (o completamente reducible ) si es la suma directa de submódulos simples (irreducibles).
El ejemplo más básico de un módulo semisimple es un módulo sobre un campo, es decir, un espacio vectorial . Por otra parte, el anillo Z de enteros no es un módulo semisimple sobre sí mismo, ya que el submódulo 2 Z no es un sumando directo.
Semisimple es más fuerte que completamente descomponible , que es una suma directa de submódulos indescomponibles .
Sea A un álgebra sobre un campo K. Entonces se dice que un módulo izquierdo M sobre A es absolutamente semisimple si, para cualquier extensión de campo F de K , F ⊗ K M es un módulo semisimple sobre F ⊗ K A .
Se dice que un anillo es (izquierda) -semisimple si es semisimple como un módulo izquierdo sobre sí mismo. [1] Sorprendentemente, un anillo semisimple por la izquierda también es semisimple por la derecha y viceversa. Por lo tanto, la distinción izquierda/derecha es innecesaria y se puede hablar de anillos semisimples sin ambigüedad.