En matemáticas , un cúbico cuspidal o parábola semicúbica es una curva plana algebraica que tiene una ecuación implícita de la forma
(con un ≠ 0 ) en algún sistema de coordenadas cartesianas .
Resolviendo para conduce a la forma explícita
lo que implica que todo punto real satisface x ≥ 0 . El exponente explica el término parábola semicúbica . (Una parábola se puede describir mediante la ecuación.)
Resolver la ecuación implícita para x produce una segunda forma explícita
también se puede deducir de la ecuación implícita poniendo [1]
Las parábolas semicúbicas son exactamente las curvas planas cúbicas que tienen una singularidad cuspidal ; de ahí el nombre de cuspidal cúbico .
La longitud del arco de la curva fue calculada por el matemático inglés William Neile y publicada en 1657 (ver sección Historia ). [2]
Propiedades de las parábolas semicúbicas
Semejanza
Cualquier parábola semicúbica es similar a la parábola de la unidad semicúbica .
Prueba: la similitud (escala uniforme) mapea la parábola semicúbica en la curva con .
Singularidad
La representación paramétrica es regular excepto en el punto. En el puntola curva tiene una singularidad (cúspide). La demostración se sigue del vector tangente. Solo para este vector tiene longitud cero.
Tangentes
Diferenciar la parábola de la unidad semicúbica uno llega al punto de la rama superior la ecuación de la tangente:
Esta tangente interseca la rama inferior exactamente en un punto más con coordenadas [3]
(Para probar esta afirmación, se debe usar el hecho de que la tangente se encuentra con la curva en dos veces.)
Longitud de arco
Determinación de la longitud de arco de una curva hay que resolver la integral . Para la parábola semicúbica, uno obtiene
(La integral se puede resolver mediante la sustitución .)
Ejemplo: para (parábola de unidad semicúbica) y , que significa la longitud del arco entre el origen y el punto, se obtiene la longitud del arco.
Evoluta de la parábola unitaria
La evolución de la parábola es una parábola semicúbica desplazada 1/2 a lo largo del eje x :.
Coordenadas polares
Para obtener la representación de la parábola semicúbica en coordenadas polares, se determina el punto de intersección de la línea con la curva. Para hay un punto diferente al origen: . Este punto tiene distanciadesde el origen. Con y (ver Lista de identidades ) se obtiene [4]
Relación entre una parábola semicúbica y una función cúbica
Mapeo de la parábola semicúbica por el mapa proyectivo (Perspectividad involutiva con eje y centro ) rinde, de ahí la función cúbica . La cúspide (origen) de la parábola semicúbica se intercambia con el punto en el infinito del eje y.
Esta propiedad también se puede derivar si se representa la parábola semicúbica por coordenadas homogéneas : En la ecuación (A) el reemplazo (la recta en el infinito tiene la ecuación .) y la multiplicación pores interpretado. Uno obtiene la ecuación de la curva.
- en coordenadas homogéneas :.
Elegir línea como línea en el infinito e introduciendo produce la curva (afín) .
Curva de isocrona
Una propiedad definitoria adicional de la parábola semicúbica es que es una curva isócrona , lo que significa que una partícula que sigue su camino mientras es arrastrada hacia abajo por la gravedad viaja a intervalos verticales iguales en períodos de tiempo iguales. De esta forma se relaciona con la curva tautocrona , para la cual las partículas en diferentes puntos de partida siempre tardan el mismo tiempo en llegar al fondo, y la curva braquistocrona , la curva que minimiza el tiempo que tarda una partícula en caída en viajar desde su inicio hasta su final.
Historia
La parábola semicúbica fue descubierta en 1657 por William Neile, quien calculó la longitud de su arco . Aunque las longitudes de algunas otras curvas no algebraicas, incluidas la espiral logarítmica y la cicloide, ya se habían calculado (es decir, esas curvas se habían rectificado ), la parábola semicúbica fue la primera curva algebraica (excluyendo la línea y el círculo ) que se rectificó. [1] [ disputado (por: parece que la parábola y otras secciones cónicas se han rectificado mucho antes) ]
Referencias
- ^ a b Pickover, Clifford A. (2009), "La longitud de la parábola semicúbica de Neile", El libro de matemáticas: de Pitágoras a la dimensión 57, 250 hitos en la historia de las matemáticas , Sterling Publishing Company, Inc., p. 148, ISBN 9781402757969.
- ↑ August Pein: Die semicubische oder Neil'sche Parabel, ihre Sekanten und Tangenten , p.2
- ↑ August Pein: Die semicubische oder Neil'sche Parabel, ihre Sekanten und Tangenten , p.26
- ↑ August Pein: Die semicubische oder Neil'sche Parabel, ihre Sekanten und Tangenten , p. 10
- August Pein: Die semicubische oder Neil'sche Parabel, ihre Sekanten und Tangenten , 1875, Disertación
- Clifford A. Pickover: La longitud de la parábola semicúbica de Neile
enlaces externos
- O'Connor, John J .; Robertson, Edmund F. , "Parábola semicúbica de Neile" , Archivo MacTutor de Historia de las Matemáticas , Universidad de St Andrews.