En geometría , una cicloide es la curva trazada por un punto en un círculo mientras rueda a lo largo de una línea recta sin deslizarse. Una cicloide es una forma específica de trocoide y es un ejemplo de una ruleta , una curva generada por una curva rodando sobre otra curva.
La cicloide, con las cúspides apuntando hacia arriba, es la curva de descenso más rápido bajo gravedad constante (la curva braquistócrona ). También es la forma de una curva para la cual el período de un objeto en movimiento armónico simple (rodando hacia arriba y hacia abajo repetidamente) a lo largo de la curva no depende de la posición inicial del objeto (la curva tautocrona ).
Historia
Moby Dick de Herman Melville , 1851
La cicloide ha sido llamada "La Helena de los Geómetros", ya que provocó frecuentes disputas entre los matemáticos del siglo XVII. [1]
Los historiadores de las matemáticas han propuesto varios candidatos para el descubridor de la cicloide. El historiador matemático Paul Tannery citó un trabajo similar del filósofo sirio Iamblichus como evidencia de que la curva era conocida en la antigüedad. [2] El matemático inglés John Wallis, escribiendo en 1679, atribuyó el descubrimiento a Nicolás de Cusa , [3] pero estudios posteriores indican que Wallis estaba equivocado o que la evidencia que usó ahora se ha perdido. [4] El nombre de Galileo Galilei se presentó a finales del siglo XIX [5] y al menos un autor informa que se le dio crédito a Marin Mersenne . [6] A partir del trabajo de Moritz Cantor [7] y Siegmund Günther , [8] los estudiosos ahora asignan prioridad al matemático francés Charles de Bovelles [9] [10] [11] basándose en su descripción de la cicloide en su Introductio in geometriam , publicado en 1503. [12] En este trabajo, Bovelles confunde el arco trazado por una rueda rodante como parte de un círculo más grande con un radio 120% más grande que la rueda más pequeña. [4]
Galileo originó el término cicloide y fue el primero en hacer un estudio serio de la curva. [4] Según su alumno Evangelista Torricelli , [13] en 1599 Galileo intentó la cuadratura de la cicloide (determinando el área debajo de la cicloide) con un enfoque inusualmente empírico que implicaba trazar tanto el círculo generador como la cicloide resultante en una hoja de metal, cortándolos y pesándolos. Descubrió que la proporción era aproximadamente de 3: 1, pero concluyó incorrectamente que la proporción era una fracción irracional, lo que habría hecho imposible la cuadratura. [6] Alrededor de 1628, Gilles Persone de Roberval probablemente se enteró del problema de cuadratura de Père Marin Mersenne y efectuó la cuadratura en 1634 utilizando el teorema de Cavalieri . [4] Sin embargo, este trabajo no se publicó hasta 1693 (en su Traité des Indivisibles ). [14]
La construcción de la tangente de la cicloide data de agosto de 1638, cuando Mersenne recibió métodos únicos de Roberval, Pierre de Fermat y René Descartes . Mersenne pasó estos resultados a Galileo, quien se los entregó a sus alumnos Torricelli y Viviana, quienes pudieron producir una cuadratura. Este y otros resultados fueron publicados por Torricelli en 1644, [13] que es también el primer trabajo impreso sobre la cicloide. Esto llevó a Roberval a acusar a Torricelli de plagio, con la controversia interrumpida por la temprana muerte de Torricelli en 1647. [14]
En 1658, Blaise Pascal había renunciado a las matemáticas por la teología pero, mientras sufría de dolor de muelas, comenzó a considerar varios problemas relacionados con la cicloide. Su dolor de muelas desapareció y lo tomó como una señal celestial para continuar con su investigación. Ocho días después había terminado su ensayo y, para dar a conocer los resultados, propuso un concurso. Pascal propuso tres cuestiones relativas al centro de gravedad , área y volumen de la cicloide, con el ganador o ganadores de recibir premios de 20 y 40 doblones españoles . Pascal, Roberval y el senador Carcavy fueron los jueces, y ninguna de las dos presentaciones (de John Wallis y Antoine de Lalouvère ) se consideró adecuada. [15] : 198 Mientras el concurso estaba en curso, Christopher Wren envió a Pascal una propuesta para una prueba de la rectificación de la cicloide; Roberval afirmó de inmediato que conocía la prueba desde hacía años. Wallis publicó la prueba de Wren (acreditando a Wren) en Tractus Duo de Wallis , dando prioridad a Wren para la primera prueba publicada. [14]
Quince años después, Christiaan Huygens había desplegado el péndulo cicloidal para mejorar los cronómetros y había descubierto que una partícula atravesaría un segmento de un arco cicloidal invertido en la misma cantidad de tiempo, independientemente de su punto de partida. En 1686, Gottfried Wilhelm Leibniz utilizó geometría analítica para describir la curva con una sola ecuación. En 1696, Johann Bernoulli planteó el problema de la braquistocrona , cuya solución es una cicloide. [14]
Ecuaciones
La cicloide que pasa por el origen, con una base horizontal dada por el eje x , generada por un círculo de radio r rodando sobre el lado "positivo" de la base ( y ≥ 0 ), consta de los puntos ( x , y ) , con
donde t es un parámetro real , correspondiente al ángulo a través del cual ha girado el círculo rodante. Para dado t , el centro del círculo se encuentra en ( x , y ) = ( rt , r ) .
Resolviendo para ty reemplazando, se encuentra que la ecuación cartesiana es:
Cuando y se considera una función de x , la cicloide es diferenciable en todas partes excepto en las cúspides , donde golpea el eje x , con la derivada tendiendo hacia o cuando uno se acerca a una cúspide. El mapa de t a ( x , y ) es una curva diferenciable o curva paramétrica de clase C ∞ , y la singularidad donde la derivada es 0 es una cúspide ordinaria.
Un segmento cicloide de una cúspide a la siguiente se llama arco de la cicloide. El primer arco de la cicloide consta de puntos tales que
La ecuación de la cicloide satisface la ecuación diferencial : [16]
Evolvente
La involuta de la cicloide tiene la propiedad de ser exactamente la misma cicloide de la que se origina. De lo contrario, esto se puede ver desde la punta de un cable que inicialmente se encuentra en un medio arco de cicloide que describe un arco cicloide igual al que estaba acostado una vez desenvuelto (ver también péndulo cicloidal y longitud del arco ).
Demostración
Hay varias demostraciones de la afirmación. El que se presenta aquí utiliza la definición física de cicloide y la propiedad cinemática de que la velocidad instantánea de un punto es tangente a su trayectoria. Refiriéndose a la imagen adyacente, y son dos puntos tangentes que pertenecen a dos círculos rodantes. Los dos círculos comienzan a rodar con la misma velocidad y la misma dirección sin patinar. y Empiece a dibujar dos arcos cicloides como en la imagen. Considerando la línea que conecta y en un instante arbitrario (línea roja), es posible probar que la línea es en cualquier momento tangente en al arco inferior y ortogonal a la tangente en del arco superior . Uno ve ese llamado el punto en común entre el círculo superior y el círculo inferior:
- están alineados porque (igual velocidad de laminación) y por lo tanto . El punto yace en la linea por lo tanto anuncio de forma análoga . De la igualdad de y uno tiene eso también . Sigue .
- Si es el punto de encuentro entre la perpendicular desde a la recta de y la tangente al círculo en , luego el triangulo es isósceles porque y (fácil de probar visto la construcción). Para la anterior igualdad notada entre y luego y es isósceles.
- Conduciendo desde la recta ortogonal a , de la recta tangente al círculo superior y llamando el punto de encuentro ahora es fácil de ver que es un rombo , utilizando los teoremas relacionados con los ángulos entre líneas paralelas
- Ahora considera la velocidad de . Puede verse como la suma de dos componentes, la velocidad de laminación y la velocidad a la deriva . Ambas velocidades son iguales en módulo porque los círculos ruedan sin patinar. es paralelo a y es tangente al círculo inferior en por lo tanto es paralelo a . El rombo constituido por los componentes y es por tanto similar (mismos ángulos) al rombo porque tienen lados paralelos. La velocidad total de es entonces paralelo a porque ambos son diagonales de dos rombos con lados paralelos y tiene en común con el punto de contacto . De ello se deduce que el vector de velocidad radica en la prolongación de . Porque es tangente al arco de cicloide en (propiedad de la velocidad de una trayectoria), se sigue que también coincide con la tangente al arco cicloide inferior en .
- De manera análoga, se puede demostrar fácilmente que es ortogonal a (otra diagonal del rombo).
- La punta de un alambre inextensible inicialmente estirado en medio arco de cicloide inferior y limitado al círculo superior en luego seguirá el punto a lo largo de su trayectoria sin cambiar su longitud porque la velocidad de la punta es en cada momento ortogonal al alambre (sin estiramiento ni compresión). El cable será al mismo tiempo tangente enal arco inferior debido a la tensión y los elementos demostrados. Si no fuera tangente, habría una discontinuidad en y consecuentemente habría fuerzas de tensión desequilibradas.
Área
Usando la parametrización anterior para un arco de una cicloide generado por un círculo de radio r ,
por el área debajo del arco está dada por
Este resultado, y algunas generalizaciones, pueden obtenerse sin cálculo mediante el cálculo visual de Mamikon .
Longitud de arco
La longitud de arco S de un arco está dada por
Otra forma inmediata de calcular la longitud de la cicloide dadas las propiedades de la involuta es notar que cuando un alambre que describe una involuta ha sido completamente desenvuelto, se extiende a lo largo de dos diámetros, una longitud de 4 r . Debido a que el alambre no cambia de longitud durante el desenrollado, se deduce que la longitud de medio arco de cicloide es 4 r y la de un arco completo es 8 r .
Péndulo cicloidal
Si un péndulo simple está suspendido de la cúspide de una cicloide invertida, de manera que la "cuerda" está restringida entre los arcos adyacentes de la cicloide, y la longitud del péndulo L es igual a la de la mitad de la longitud del arco de la cicloide (es decir, dos veces el diámetro del círculo generador, L = 4r ), la sacudida del péndulo también traza una trayectoria cicloide. Tal péndulo cicloidal es isócrono , independientemente de su amplitud. Introduciendo un sistema de coordenadas centrado en la posición de la cúspide, la ecuación de movimiento viene dada por:
dónde es el ángulo de la parte recta de la cuerda con respecto al eje vertical, y viene dado por
donde A <1 es la "amplitud",es la frecuencia en radianes del péndulo y g la aceleración gravitacional.
El matemático holandés del siglo XVII Christiaan Huygens descubrió y demostró estas propiedades de la cicloide mientras buscaba diseños de relojes de péndulo más precisos para su uso en la navegación. [17]
Curvas relacionadas
Varias curvas están relacionadas con la cicloide.
- Trocoide : generalización de una cicloide en la que el punto que traza la curva puede estar dentro del círculo rodante (acortado) o fuera (prolate).
- Hipocicloide : variante de una cicloide en la que un círculo rueda en el interior de otro círculo en lugar de una línea.
- Epicicloide : variante de una cicloide en la que un círculo rueda en el exterior de otro círculo en lugar de una línea.
- Hipotrocoide : generalización de un hipocicloide donde el punto generador puede no estar en el borde del círculo rodante.
- Epitrocoide : generalización de un epicicloide donde el punto generador puede no estar en el borde del círculo rodante.
Todas estas curvas son ruletas con un círculo enrollado a lo largo de otra curva de curvatura uniforme . Los cicloides, epicicloides e hipocicloides tienen la propiedad de que cada uno es similar a su evoluta . Si q es el producto de esa curvatura con el radio del círculo, con signo positivo para epi- y negativo para hipo-, entonces la relación de similitud curva: evoluta es 1 + 2 q .
El juguete clásico de Spirograph traza curvas hipotrocoides y epitrocoides .
Otros usos
El arco cicloidal fue utilizado por el arquitecto Louis Kahn en su diseño para el Museo de Arte Kimbell en Fort Worth, Texas . También se utilizó en el diseño del Hopkins Center en Hanover, New Hampshire . [ cita requerida ]
Las primeras investigaciones indicaron que algunas curvas arqueadas transversales de las placas de los violines de la edad de oro están modeladas de cerca por curvas cicloides recortadas. [18] Trabajos posteriores indican que las cicloides reducidas no sirven como modelos generales para estas curvas, [19] que varían considerablemente.
Ver también
- Ciclogon
- Engranaje cicloide
- Lista de funciones periódicas
- Curva tautocrona
Referencias
- ^ Cajori, Florian (1999). Una historia de las matemáticas . Nueva York: Chelsea. pag. 177. ISBN 978-0-8218-2102-2.
- ^ Curtiduría, Paul (1883), "Pour l'histoire des lignes et surface courbes dans l'antiquité", Bulletin des sciences mathèmatique , París: 284 (citado en Whitman 1943);
- ^ Wallis, D. (1695). "Un extracto de una carta del Dr. Wallis, del 4 de mayo de 1697, sobre la cicloeida conocida por el cardenal Cusanus, sobre el año 1450; y a Carolus Bovillus sobre el año 1500" (PDF) . Transacciones filosóficas de la Royal Society de Londres . 19 (215–235): 561–566. doi : 10.1098 / rstl.1695.0098 . (Citado en Günther, p. 5)
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- ^ Cajori, Florian (1999), A History of Mathematics (5ª ed.), P. 162, ISBN 0-8218-2102-4(Nota: La primera edición (1893) y sus reimpresiones indican que Galileo inventó la cicloide. Según Phillips, esto se corrigió en la segunda edición (1919) y se ha mantenido hasta la edición más reciente (quinta)).
- ^ a b Roidt, Tom (2011). Cicloides y caminos (PDF) (MS). Universidad Estatal de Portland. pag. 4.
- ^ Cantor, Moritz (1892), Vorlesungen über Geschichte der Mathematik, Bd. 2 , Leipzig: BG Teubner, OCLC 25376971
- ^ Günther, Siegmund (1876), Vermischte untersuchungen zur geschichte der mathischen wissenschaften , Leipzig: Druck und Verlag Von BG Teubner, pág. 352, OCLC 2060559
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Otras lecturas
- Una aplicación de la física : Ghatak, A. & Mahadevan, L. Crack street: la estela cicloidal de un cilindro que atraviesa una sábana. Cartas de revisión física, 91, (2003). link.aps.org
- Edward Kasner y James Newman (1940) Matemáticas y la imaginación , págs. 196-200, Simon & Schuster .
- Wells D (1991). El Diccionario Penguin de Geometría Curiosa e Interesante . Nueva York: Penguin Books. págs. 445–47. ISBN 0-14-011813-6.
enlaces externos
- O'Connor, John J .; Robertson, Edmund F. , "Cycloid" , archivo MacTutor de Historia de las Matemáticas , Universidad de St Andrews
- Weisstein, Eric W. "Cicloide" . MathWorld . Consultado el 27 de abril de 2007.
- Cicloides al cortar el nudo
- Un tratado sobre la cicloide y todas las formas de curvas cicloidales , monografía de Richard A. Proctor, BA publicado por la Biblioteca de la Universidad de Cornell .
- Curvas cicloides de Sean Madsen con contribuciones de David von Seggern, Wolfram Demonstrations Project .
- Cicloide en PlanetPTC (Mathcad)
- Un enfoque VISUAL a los problemas de CÁLCULO por Tom Apostol