Una espiral logarítmica , una espiral equiangular o una espiral de crecimiento es una curva espiral auto-similar que a menudo aparece en la naturaleza. El primero en describir una espiral logarítmica fue Albrecht Dürer (1525) quien la llamó "línea eterna" ("ewige lini"). [1] Más de un siglo después, la curva fue discutida por Descartes (1638), y luego investigada extensamente por Jacob Bernoulli , quien la llamó Spira mirabilis , "la maravillosa espiral".
La espiral logarítmica se puede distinguir de la espiral de Arquímedes por el hecho de que las distancias entre los giros de una espiral logarítmica aumentan en progresión geométrica , mientras que en una espiral de Arquímedes estas distancias son constantes.
Definición
En coordenadas polares la espiral logarítmica se puede escribir como [2]
o
con siendo la base de los logaritmos naturales, y siendo constantes reales.
En coordenadas cartesianas
La espiral logarítmica con la ecuación polar
se puede representar en coordenadas cartesianas por
En el plano complejo :
Spira mirabilis y Jacob Bernoulli
Spira mirabilis , latín para "espiral milagrosa", es otro nombre para la espiral logarítmica. Aunque esta curva ya había sido nombrada por otros matemáticos, el nombre específico (espiral "milagrosa" o "maravillosa") fue dado a esta curva por Jacob Bernoulli , porque estaba fascinado por una de sus propiedades matemáticas únicas: el tamaño de la espiral. aumenta pero su forma no se altera con cada curva sucesiva, una propiedad conocida como auto-semejanza . Posiblemente como resultado de esta propiedad única, la spira mirabilis ha evolucionado en la naturaleza, apareciendo en ciertas formas de crecimiento comoconchas de nautilus ycabezas de girasol . Jacob Bernoulli quería tal espiral grabada en su lápida junto con la frase " Eadem mutata resurgo " ("Aunque cambiado, me levantaré igual"), pero, por error,se colocó allíuna espiral de Arquímedes . [3] [4]
Propiedades
La espiral logarítmica tiene las siguientes propiedades (ver Espiral ):
- Pendiente polar :
- con ángulo de pendiente polar (ver diagrama).
- (En caso de ángulo sería 0 y la curva un círculo con radio .)
- Curvatura :
- Longitud de arco:
- Especialmente: , Si .
- Esta propiedad fue descubierta por primera vez por Evangelista Torricelli incluso antes de que se inventara el cálculo . [5]
- Área del sector:
- Inversión: Inversión de círculo () mapea la espiral logarítmica en la espiral logarítmica
- Girar, escalar : Girar la espiral por ángulo cede la espiral , que es la espiral original uniformemente escalada (en el origen) por .
- Escalando por da la misma curva.
- Autosemejanza : resultado de la propiedad anterior:
- Una espiral logarítmica escalada es congruente (por rotación) con la curva original.
- Ejemplo: el diagrama muestra espirales con ángulo de pendiente y . Por lo tanto, todas son copias a escala del rojo. Pero también se pueden generar girando el rojo por ángulos resp .. Todas las espirales no tienen puntos en común (ver propiedad sobre función exponencial compleja ).
- Relación con otras curvas: Las espirales logarítmicas son congruentes con sus propias involutas , evolutas y las curvas del pedal basadas en sus centros.
- Función exponencial compleja : La función exponencial mapea exactamente todas las líneas que no son paralelas al eje real o imaginario en el plano complejo, a todas las espirales logarítmicas en el plano complejo con centro en:
- El ángulo de la pendiente polar de la espiral logarítmica es el ángulo entre la línea y el eje imaginario.
Casos especiales y aproximaciones
La espiral dorada es una espiral logarítmica que crece hacia afuera en un factor de la proporción áurea por cada 90 grados de rotación (ángulo de pendiente polar de aproximadamente 17.03239 grados). Puede aproximarse mediante una "espiral de Fibonacci", hecha de una secuencia de cuartos de círculo con radios proporcionales a los números de Fibonacci .
En naturaleza
En varios fenómenos naturales se pueden encontrar curvas cercanas a espirales logarítmicas. A continuación se muestran algunos ejemplos y motivos:
- El acercamiento de un halcón a su presa en una persecución clásica , asumiendo que la presa viaja en línea recta. Su vista más nítida está en ángulo con respecto a su dirección de vuelo; este ángulo es el mismo que el paso de la espiral. [6]
- El acercamiento de un insecto a una fuente de luz. Están acostumbrados a tener la fuente de luz en un ángulo constante con respecto a su trayectoria de vuelo. Por lo general, el sol (o la luna para las especies nocturnas) es la única fuente de luz y volar de esa manera resultará en una línea prácticamente recta. [7]
- Los brazos de las galaxias espirales . [8] Nuestra propia galaxia, la Vía Láctea , tiene varios brazos espirales, cada uno de los cuales es aproximadamente una espiral logarítmica con un paso de unos 12 grados. [9]
- Los nervios de la córnea (esto es, los nervios corneales de la capa subepitelial terminan cerca de la capa epitelial superficial de la córnea en un patrón de espiral logarítmico). [10]
- Las bandas de ciclones tropicales , como los huracanes. [11]
- Muchas estructuras biológicas , incluidas las conchas de moluscos . [12] En estos casos, la razón puede ser la construcción a partir de formas similares en expansión, como es el caso de las figuras poligonales .
- Pueden formarse playas espirales logarítmicas como resultado de la refracción y difracción de las olas en la costa. Half Moon Bay (California) es un ejemplo de este tipo de playa. [13]
En aplicaciones de ingeniería
- Las antenas espirales logarítmicas son antenas independientes de la frecuencia, es decir, antenas cuyo patrón de radiación, impedancia y polarización permanecen en gran parte sin modificar en un amplio ancho de banda. [15]
- Cuando se fabrican mecanismos mediante máquinas de fabricación sustractiva (como cortadoras láser ), puede haber una pérdida de precisión cuando el mecanismo se fabrica en una máquina diferente debido a la diferencia de material eliminado (es decir, el corte) por cada máquina en el corte. proceso. Para ajustar esta variación de corte, la propiedad auto-similar de la espiral logarítmica se ha utilizado para diseñar un mecanismo de cancelación de corte para cortadoras láser. [dieciséis]
- Los engranajes cónicos en espiral logarítmicos son un tipo de engranajes cónicos en espiral cuya línea central del diente del engranaje es una espiral logarítmica. Una espiral logarítmica tiene la ventaja de proporcionar ángulos iguales entre la línea central del diente y las líneas radiales, lo que da más estabilidad a la transmisión del engrane. [17]
Ver también
- Espiral de Arquímedes
- Epiespiral
- Lista de espirales
Referencias
- ↑ Alberto Durero (1525). Underweysung der Messung, mit dem Zirckel und Richtscheyt, en Linien, Ebenen unnd gantzen corporen .
- ^ Priya Hemenway (2005). Proporción divina: Φ Phi en arte, naturaleza y ciencia . ISBN de Sterling Publishing Co. 978-1-4027-3522-6.
- ^ Livio, Mario (2002). La proporción áurea: la historia de Phi, el número más asombroso del mundo . Nueva York: Broadway Books. ISBN 978-0-7679-0815-3.
- ^ Yates, RC: Un manual sobre curvas y sus propiedades , JW Edwards (1952), "Evolutes". pag. 206.
- ^ Carl Benjamin Boyer (1949). La historia del cálculo y su desarrollo conceptual . Publicaciones de Courier Dover. pag. 133. ISBN 978-0-486-60509-8.
- ^ Chin, Gilbert J. (8 de diciembre de 2000), "Organismal Biology: Flying Along a Logarithmic Spiral", Science , 290 (5498): 1857, doi : 10.1126 / science.290.5498.1857c
- ^ John Himmelman (2002). Descubriendo polillas: joyas nocturnas en su propio patio trasero . Down East Enterprise Inc. pág. 63. ISBN 978-0-89272-528-1.
- ^ G. Bertin y CC Lin (1996). Estructura espiral en galaxias: una teoría de ondas de densidad . Prensa del MIT. pag. 78. ISBN 978-0-262-02396-2.
- ^ David J. Darling (2004). El libro universal de matemáticas: de Abracadabra a las paradojas de Zenón . John Wiley e hijos. pag. 188. ISBN 978-0-471-27047-8.
- ^ CQ Yu CQ y MI Rosenblatt, "Neurofluorescencia corneal transgénica en ratones: un nuevo modelo para la investigación in vivo de la estructura y regeneración nerviosas", Invest Ophthalmol Vis Sci. Abril de 2007; 48 (4): 1535-42.
- ^ Andrew Gray (1901). Tratado de física, volumen 1 . Churchill. págs. 356 –357.
- ^ Michael Cortie (1992). "La forma, función y síntesis de la concha de moluscos" . En István Hargittai y Clifford A. Pickover (ed.). Simetría en espiral . World Scientific. pag. 370. ISBN 978-981-02-0615-4.
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- ^ Mayes, PE (1992). "Antenas independientes de frecuencia y sus derivadas de banda ancha" . Actas del IEEE . 80 (1): 103-112. doi : 10.1109 / 5.119570 .
- ^ Roumen, Thijs; Apel, Ingo; Shigeyama, Jotaro; Muhammad, Abdullah; Baudisch, Patrick (20 de octubre de 2020). "Mecanismos de cancelación de ranuras: hacer que los mecanismos de corte por láser operen a través de diferentes cortadores de láser" . Actas del 33º Simposio anual de ACM sobre software y tecnología de interfaz de usuario . Evento virtual EE. UU .: ACM: 293–303. doi : 10.1145 / 3379337.3415895 . ISBN 978-1-4503-7514-6.
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- Weisstein, Eric W. "Espiral logarítmica" . MathWorld .
- Jim Wilson, Espiral equiangular (o espiral logarítmica) y sus curvas relacionadas , Universidad de Georgia (1999)
- Alexander Bogomolny , Spira Mirabilis - Wonderful Spiral , al cortar el nudo
enlaces externos
- Spira mirabilis historia y matemáticas
- Imagen astronómica del día de la NASA: Huracán Isabel contra la galaxia Whirlpool (25 de septiembre de 2003)
- Imagen astronómica del día de la NASA: el tifón Rammasun contra la galaxia Molinillo (17 de mayo de 2008)
- SpiralZoom.com , un sitio web educativo sobre la ciencia de la formación de patrones, espirales en la naturaleza y espirales en la imaginación mítica.
- Exploración en línea usando JSXGraph (JavaScript)