Topología de producto

El "espacio de producto" vuelve a dirigir aquí. Para otros usos, consulte El espacio de productos .

En topología y áreas relacionadas de las matemáticas , un espacio de producto es el producto cartesiano de una familia de espacios topológicos equipados con una topología natural llamada topología de producto . Esta topología difiere de otra topología, quizás más obvia, denominada topología de caja , que también se puede dar a un espacio de producto y que concuerda con la topología de producto cuando el producto está sobre un número finito de espacios. Sin embargo, la topología del producto es "correcta" en el sentido de que hace que el espacio del producto sea un producto categórico de sus factores, mientras que la topología de caja es demasiado fina.; en ese sentido, la topología del producto es la topología natural del producto cartesiano.

Definición

A lo largo, habrá un conjunto de índices no vacíos y para cada índice habrá un espacio topológico . Dejar ${\displaystyle I}$${\displaystyle i\in I,}$ ${\displaystyle X_{i}}$

${\displaystyle X:=\prod _{i\in I}X_{i}}$

ser el producto cartesiano de los conjuntos y denotar las proyecciones canónicas por La topología del producto , a veces llamada topología de Tychonoff , se define como la topología más burda (es decir, la topología con la menor cantidad de conjuntos abiertos) para la cual todas las proyecciones son continuas . El producto cartesiano dotado de topología de producto se denomina espacio de producto . La topología del producto también se denomina topología de convergencia puntual debido al siguiente hecho: una secuencia (o red ) en${\displaystyle X_{i},}$${\displaystyle p_{i}:X\to X_{i}.}$${\displaystyle X}$${\displaystyle p_{i}}$${\displaystyle X:=\prod _{i\in I}X_{i}}$${\displaystyle X}$converge si y solo si convergen todas sus proyecciones a los espacios . En particular, si se considera el espacio de todas las funciones con valor real en la convergencia en la topología del producto, es lo mismo que la convergencia puntual de funciones. ${\displaystyle X_{i}}$${\displaystyle X=\mathbb {R} ^{I}}$${\displaystyle I,}$

Los conjuntos abiertos en la topología del producto son uniones (finitas o infinitas) de conjuntos de la forma en la que cada uno está abierto y solo para un número finito En particular, para un producto finito (en particular, para el producto de dos espacios topológicos), el El conjunto de todos los productos cartesianos entre un elemento base de cada uno da una base para la topología del producto de Es decir, para un producto finito, el conjunto de todos donde es un elemento de la base (elegida) de es una base para la topología del producto de${\displaystyle \prod _{i\in I}U_{i},}$${\displaystyle U_{i}}$${\displaystyle X_{i}}$${\displaystyle U_{i}\neq X_{i}}$${\displaystyle i.}$${\displaystyle X_{i}}$${\displaystyle \prod _{i\in I}X_{i}.}$${\displaystyle \prod _{i\in I}U_{i},}$${\displaystyle U_{i}}$${\displaystyle X_{i},}$${\displaystyle \prod _{i\in I}X_{i}.}$

La topología del producto en es la topología generada por conjuntos de la forma donde y es un subconjunto abierto de En otras palabras, los conjuntos ${\displaystyle X}$${\displaystyle p_{i}^{-1}\left(U_{i}\right),}$${\displaystyle i\in I}$${\displaystyle U_{i}}$${\displaystyle X_{i}.}$

${\displaystyle \left\{p_{i}^{-1}\left(U_{i}\right)~:~i\in I{\text{ and }}U_{i}\subseteq X_{i}{\text{ is open in }}X_{i}\right\}}$

formar una subbase para la topología en Un subconjunto de está abierto si y solo si es una unión (posiblemente infinita) de intersecciones de un número finito de conjuntos de la forma The a veces se denominan cilindros abiertos , y sus intersecciones son conjuntos de cilindros .${\displaystyle X.}$${\displaystyle X}$${\displaystyle p_{i}^{-1}\left(U_{i}\right).}$${\displaystyle p_{i}^{-1}\left(U_{i}\right)}$

El producto de las topologías de cada uno forma una base para lo que se llama la topología de la caja en general, la topología de la caja es más fina que la topología producto, pero para los productos finitos que coinciden.${\displaystyle X_{i}}$${\displaystyle X.}$

Ejemplos

Si la línea real está dotada con su topología estándar, entonces la topología del producto en el producto de copias de la topología euclidiana igual a la ordinaria en${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle n}$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}.}$

El conjunto de Cantor es homeomorfo al producto de innumerables copias del espacio discreto y el espacio de los números irracionales es homeomorfo al producto de innumerables copias de los números naturales , donde de nuevo cada copia lleva la topología discreta.${\displaystyle \{0,1\}}$

En el artículo sobre la topología inicial se dan varios ejemplos adicionales .

Propiedades

El espacio del producto junto con las proyecciones canónicas, se puede caracterizar por la siguiente propiedad universal : Si es un espacio topológico, y para cada es un mapa continuo, entonces existe precisamente un mapa continuo tal que para cada uno el siguiente diagrama conmuta :${\displaystyle X,}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle i\in I,}$ ${\displaystyle f_{i}:Y\to X_{i}}$${\displaystyle f:Y\to X}$${\displaystyle i\in I}$

Esto muestra que el espacio de producto es un producto en la categoría de espacios topológicos . De la propiedad universal anterior se deduce que un mapa es continuo si y solo si es continuo para todos. En muchos casos, es más fácil comprobar que las funciones componentes son continuas. Comprobar si un mapa es continuo suele ser más difícil; uno intenta utilizar el hecho de que son continuos de alguna manera.${\displaystyle f:Y\to X}$ ${\displaystyle f_{i}=p_{i}\circ f}$${\displaystyle i\in I.}$${\displaystyle f_{i}}$${\displaystyle f:Y\to X}$${\displaystyle p_{i}}$

Además de ser continuas, las proyecciones canónicas son mapas abiertos . Esto significa que cualquier subconjunto abierto del espacio del producto permanece abierto cuando se proyecta hacia abajo al Lo contrario no es cierto: si es un subespacio del espacio del producto cuyas proyecciones hacia abajo a todos los están abiertos, entonces no es necesario que estén abiertos en (considere, por ejemplo, ) Las proyecciones canónicas no son generalmente mapas cerrados (considérese, por ejemplo, el conjunto cerrado cuyas proyecciones en ambos ejes lo son ).${\displaystyle p_{i}:X\to X_{i}}$${\displaystyle X_{i}.}$${\displaystyle W}$${\displaystyle X_{i}}$${\displaystyle W}$${\displaystyle X}$${\displaystyle W=\mathbb {R} ^{2}\setminus (0,1)^{2}.}$${\displaystyle \left\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}:xy=1\right\},}$${\displaystyle \mathbb {R} \setminus \{0\}}$

Supongamos que es un producto de subconjuntos arbitrarios, donde para cada Si todos no están vacíos, entonces es un subconjunto cerrado del espacio del producto si y solo si cada es un subconjunto cerrado de Más generalmente, el cierre del producto de subconjuntos arbitrarios en el producto el espacio es igual al producto de los cierres: ^[1]${\displaystyle \prod _{i\in I}S_{i}}$${\displaystyle S_{i}\subseteq X_{i}}$${\displaystyle i\in I.}$${\displaystyle S_{i}}$${\displaystyle \prod _{i\in I}S_{i}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle S_{i}}$${\displaystyle X_{i}.}$${\displaystyle \prod _{i\in I}S_{i}}$${\displaystyle X}$

${\displaystyle \operatorname {Cl} _{X}\left(\prod _{i\in I}S_{i}\right)=\prod _{i\in I}\left(\operatorname {Cl} _{X_{i}}S_{i}\right).}$

Cualquier producto de los espacios de Hausdorff vuelve a ser un espacio de Hausdorff.

El teorema de Tychonoff , que es equivalente al axioma de elección , establece que cualquier producto de espacios compactos es un espacio compacto. Una especialización del teorema de Tychonoff que requiere solo el lema del ultrafiltro (y no toda la fuerza del axioma de elección) establece que cualquier producto de espacios compactos de Hausdorff es un espacio compacto.

Si es fijo, entonces el conjunto${\displaystyle z=\left(z_{i}\right)_{i\in I}\in X}$

${\displaystyle \left\{x=\left(x_{i}\right)_{i\in I}\in X\colon x_{i}=z_{i}{\text{ for all except at most finitely many }}i\right\}}$

es un subconjunto denso del espacio del producto . ^[1]${\displaystyle X}$

Relación con otras nociones topológicas

Separación

• Cada producto de T 0 espacios es T ₀
• Cada producto de T 1 espacios es T ₁
• Cada producto de los espacios de Hausdorff es Hausdorff ^[2]
• Cada producto de los espacios regulares es regular
• Cada producto de los espacios de Tychonoff es Tychonoff
• Un producto de espacios normales no tiene por qué ser normal

Compacidad

• Todo producto de espacios compactos es compacto ( teorema de Tychonoff )
• Un producto de espacios localmente compactos no necesita ser localmente compacto. Sin embargo, un producto arbitrario de espacios localmente compactos donde todos, excepto un número finito, son compactos, es localmente compacto (esta condición es suficiente y necesaria).

Conectividad

• Cada producto de conectado (resp. Trayectoria-conectado) espacios está conectado (resp. Trayectoria-conectado)
• Cada producto de espacios desconectados hereditariamente está desconectado hereditariamente.

Espacios métricos

• Los productos contables de los espacios métricos son espacios metrizables

Axioma de elección

Una de las muchas formas de expresar el axioma de elección es decir que es equivalente al enunciado de que el producto cartesiano de una colección de conjuntos no vacíos no es vacío. ^[3] La prueba de que esto es equivalente al enunciado del axioma en términos de funciones de elección es inmediata: basta con elegir un elemento de cada conjunto para encontrar un representante en el producto. Por el contrario, un representante del producto es un conjunto que contiene exactamente un elemento de cada componente.

El axioma de la elección se repite en el estudio de los espacios de productos (topológicos); por ejemplo, el teorema de Tychonoff sobre conjuntos compactos es un ejemplo más complejo y sutil de un enunciado que es equivalente al axioma de elección, ^[4] y muestra por qué la topología del producto puede considerarse la topología más útil para aplicar un producto cartesiano.

Ver también

• Unión disjunta (topología)
• Topología final: la topología  más fina que hace que algunas funciones sean continuas
• Topología inicial: la topología  más burda que hace que ciertas funciones sean continuas: a veces se denomina topología límite proyectiva
• Límite inverso
• Convergencia puntual  : noción de convergencia en matemáticas
• Espacio de cociente (topología)
• Subespacio (topología)
• Topología débil  : topología en la que la convergencia de puntos se define por la convergencia de su imagen en funcionales lineales continuos

Notas

1. Bourbaki , 1989 , págs. 43-50.
2. "La topología del producto conserva la propiedad de Hausdorff" . PlanetMath .
3. Pervin, William J. (1964), Fundamentos de topología general , Academic Press, p. 33
4. Hocking, John G .; Young, Gail S. (1988) [1961], Topology , Dover, pág. 28 , ISBN 978-0-486-65676-2

Referencias

• Bourbaki, Nicolas (1989) [1966]. Topología general: Capítulos 1–4 [ Topologie Générale ]. Éléments de mathématique . Berlín Nueva York: Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-540-64241-1. OCLC  18588129 .
• Willard, Stephen (1970). Topología general . Reading, Mass .: Addison-Wesley Pub. Co. ISBN 0486434796. Consultado el 13 de febrero de 2013 .