Una ecuación diferencial parcial separable es aquella que se puede dividir en un conjunto de ecuaciones separadas de menor dimensionalidad (menos variables independientes) mediante un método de separación de variables . Esto generalmente se basa en que el problema tiene alguna forma o simetría especial . De esta manera, la ecuación diferencial parcial (PDE) se puede resolver resolviendo un conjunto de PDE más simples, o incluso ecuaciones diferenciales ordinarias (ODE) si el problema se puede dividir en ecuaciones unidimensionales.
La forma más común de separación de variables es la simple separación de variables en la que se obtiene una solución asumiendo una solución de la forma dada por un producto de funciones de cada coordenada individual. Existe una forma especial de separación de variables llamada-separación de variables que se logra escribiendo la solución como una función fija particular de las coordenadas multiplicada por un producto de funciones de cada coordenada individual. Ecuación de Laplace en es un ejemplo de una ecuación diferencial parcial que admite soluciones mediante -separación de variables; en el caso tridimensional, se utilizan coordenadas de 6 esferas .
(Esto no debe confundirse con el caso de una EDO separable, que se refiere a una clase algo diferente de problemas que se pueden dividir en un par de integrales ; consulte la separación de variables ).
Ejemplo
Por ejemplo, considere la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo
para la función (en unidades adimensionales, por simplicidad). (De manera equivalente, considere la ecuación de Helmholtz no homogénea ). Si la función en tres dimensiones tiene la forma
entonces resulta que el problema se puede dividir en tres EDO unidimensionales para funciones , , y , y la solución final se puede escribir como . (De manera más general, los casos separables de la ecuación de Schrödinger fueron enumerados por Eisenhart en 1948. [1] )
Referencias
- ↑ Eisenhart, LP (1 de julio de 1948). "Enumeración de potenciales para los cuales las ecuaciones de Schroedinger de una partícula son separables". Revisión física . Sociedad Estadounidense de Física (APS). 74 (1): 87–89. doi : 10.1103 / physrev.74.87 . ISSN 0031-899X .