En matemáticas , una separatriz es el límite que separa dos modos de comportamiento en una ecuación diferencial . [1]
Ejemplo
Considere la ecuación diferencial que describe el movimiento de un péndulo simple :
dónde denota la longitud del péndulo, la aceleración gravitacional yel ángulo entre el péndulo y verticalmente hacia abajo. En este sistema hay una cantidad conservada H (el hamiltoniano ), que viene dada por
Con esto definido, se puede trazar una curva de constante H en el espacio de fase del sistema. El espacio de fase es un gráfico con a lo largo del eje horizontal y en el eje vertical: vea la miniatura a la derecha. El tipo de curva resultante depende del valor de H .
Si entonces no existe ninguna curva (porque debe ser imaginario ).
Si entonces la curva será una curva cerrada simple que es casi circular para H pequeña y adquiere forma de "ojo" cuando H se acerca al límite superior. Estas curvas corresponden al péndulo oscilando periódicamente de lado a lado.
Si entonces la curva está abierta, y esto corresponde al péndulo oscilando para siempre a través de círculos completos.
En este sistema la separatriz es la curva que corresponde a. Separa, de ahí el nombre, el espacio de fase en dos áreas distintas, cada una con un tipo de movimiento distinto. La región dentro de la separatriz tiene todas esas curvas de espacio de fase que corresponden al péndulo oscilando hacia adelante y hacia atrás, mientras que la región fuera de la separatriz tiene todas las curvas de espacio de fase que corresponden al péndulo girando continuamente a través de círculos planos verticales.
Referencias
- ^ Blanchard, Paul, Ecuaciones diferenciales , 4ª ed., 2012, Brooks / Cole, Boston, MA, pág. 469.
- Logan, J. David, Matemáticas Aplicadas , 3ra Ed., 2006, John Wiley and Sons, Hoboken, Nueva Jersey, pág. sesenta y cinco.
enlaces externos
- Separatrix de MathWorld .