En la teoría de conjuntos , se han propuesto varias formas de construir los números naturales . Estos incluyen la representación a través de ordinales de von Neumann , comúnmente empleados en la teoría de conjuntos axiomáticos , y un sistema basado en la equinumerosidad propuesto por Gottlob Frege y Bertrand Russell .
Definición como ordinales de von Neumann
En la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel (ZF) , los números naturales se definen de forma recursiva dejando que 0 = {} sea el conjunto vacío y n + 1 = n ∪ { n } para cada n . De esta manera n = {0, 1,…, n - 1} para cada número natural n . Esta definición tiene la propiedad de que n es un conjunto que contiene n elementos. Los primeros números definidos de esta manera son: ( Goldrei 1996 )
El conjunto N de números naturales se define en este sistema como el conjunto más pequeño que contiene 0 y cerrado bajo la función sucesora S definida por S ( n ) = n ∪ { n } . La estructura ⟨ N , 0, S ⟩ es un modelo de los axiomas de Peano ( Goldrei 1996 ). La existencia del conjunto N es equivalente al axioma del infinito en la teoría de conjuntos ZF.
El conjunto N y sus elementos, cuando se construyen de esta manera, son una parte inicial de los ordinales de von Neumann.
Frege y Russell
Gottlob Frege y Bertrand Russell propusieron cada uno definir un número natural n como la colección de todos los conjuntos con n elementos. Más formalmente, un número natural es una clase de equivalencia de conjuntos finitos bajo la relación de equivalencia de equinumerosidad. Esta definición puede parecer circular, pero no lo es, porque la equinumerosidad se puede definir de formas alternativas, por ejemplo, diciendo que dos conjuntos son equinumeros si se pueden poner en correspondencia uno a uno; esto a veces se conoce como principio de Hume .
Esta definición funciona en la teoría de tipos y en teorías de conjuntos que surgieron de la teoría de tipos, como New Foundations y sistemas relacionados. Sin embargo, no funciona en la teoría axiomática de conjuntos ZFC ni en ciertos sistemas relacionados, porque en tales sistemas las clases de equivalencia bajo equinumerosidad son clases propias en lugar de conjuntos.
Nacedora
William S. Hatcher (1982) deriva los axiomas de Peano de varios sistemas fundamentales, incluyendo ZFC y la teoría de categorías , y del sistema de Grundgesetze der Arithmetik de Frege usando la notación moderna y la deducción natural . La paradoja de Russell demostró que este sistema es inconsistente, pero George Boolos (1998) y David J. Anderson y Edward Zalta (2004) muestran cómo repararlo.
Ver también
Referencias
- Anderson, DJ y Edward Zalta , 2004, "Frege, Boolos y objetos lógicos", Journal of Philosophical Logic 33 : 1–26.
- George Boolos , 1998. Lógica, lógica y lógica .
- Goldrei, Derek (1996). Teoría clásica de conjuntos . Chapman y Hall .
- Hatcher, William S., 1982. Los fundamentos lógicos de las matemáticas . Pergamon. En este texto, S se refiere a los axiomas de Peano.
- Holmes, Randall, 1998. Teoría de conjuntos elemental con un conjunto universal . Academia-Bruylant. El editor ha consentido gentilmente en permitir la difusión de esta introducción a NFU a través de la web. Los derechos de autor están reservados.
- Patrick Suppes , 1972 (1960). Teoría de conjuntos axiomáticos . Dover.
enlaces externos
- Enciclopedia de Filosofía de Stanford :
- Los nuevos cimientos de Quine - por Thomas Forster.
- Teorías alternativas de conjuntos axiomáticos - por Randall Holmes.
- McGuire, Gary, " ¿Qué son los números naturales? "
- Randall Holmes: Página de inicio de nuevas fundaciones.