En estadística , un vector aleatorio x se representa clásicamente por una función de densidad de probabilidad . En un enfoque de pertenencia a un conjunto o una estimación de conjunto , x está representado por un conjunto X al que se supone que pertenece x . Esto significa que el soporte de la función de distribución de probabilidad de x está incluido dentro de X. Por un lado, la representación de vectores aleatorios por conjuntos permite proporcionar menos supuestos sobre las variables aleatorias (como la independencia) y es más fácil tratar las no linealidades. Por otro lado, una función de distribución de probabilidad proporciona una información más precisa que un conjunto que incluye su soporte.
Estimación de miembros del conjunto
La estimación de membresía de conjuntos (o estimación de conjuntos para abreviar) es un enfoque de estimación que considera que las mediciones están representadas por un conjunto Y (la mayoría de las veces un cuadro de R m , donde m es el número de mediciones) del espacio de medición. Si p es el vector de parámetros yf es la función del modelo, entonces el conjunto de todos los vectores de parámetros factibles es
- ,
donde P 0 es el conjunto previo de los parámetros. Caracterizar P corresponde a un problema de inversión de conjuntos . [1]
Resolución
Cuando f es lineal, el conjunto factible P se puede describir mediante desigualdades lineales y se puede aproximar mediante técnicas de programación lineal . [2]
Cuando f no es lineal, la resolución se puede realizar mediante análisis de intervalo . El conjunto P factible se aproxima entonces mediante un pavimento interior y otro exterior . La principal limitación del método es su complejidad exponencial con respecto al número de parámetros. [3]
Ejemplo
Considere el siguiente modelo
donde p 1 y p 2 son los dos parámetros a estimar.
Suponga que en los momentos t 1 = −1, t 2 = 1, t 3 = 2, se han recopilado las siguientes medidas de intervalo:
- [ y 1 ] = [- 4, −2],
- [ y 2 ] = [4,9],
- [ y 3 ] = [7,11],
como se ilustra en la Figura 1. El conjunto de medidas correspondiente (aquí una caja) es
- .
La función del modelo está definida por
Las componentes de f se obtienen utilizando el modelo para cada medición de tiempo. Después de resolver el problema planteado de inversión, obtenemos la aproximación representado en la figura 2. cajas rojas se encuentran dentro del conjunto factible P y cajas azules estamos fuera P .
Caso recursivo
La estimación de conjuntos se puede usar para estimar el estado de un sistema descrito por ecuaciones de estado usando una implementación recursiva. Cuando el sistema es lineal, el conjunto factible correspondiente para el vector de estado puede describirse mediante politopos o elipsoides [4] . [5] Cuando el sistema no es lineal, el conjunto puede encerrarse con subpavimentos. [6]
Estuche robusto
Cuando se producen valores atípicos, el método de estimación de conjuntos generalmente devuelve un conjunto vacío. Esto se debe al hecho de que la intersección entre conjuntos de vectores de parámetros que son consistentes con la i- ésima barra de datos está vacía. Para ser robustos con respecto a los valores atípicos, generalmente caracterizamos el conjunto de vectores de parámetros que son consistentes con todas las barras de datos excepto q de ellas. Esto es posible usando la noción de q - intersección relajada .
Ver también
Referencias
- ^ Jaulin, L .; Walter, E. (1993). "Estimación de parámetros no lineal garantizada mediante cálculos de intervalo" (PDF) . Cálculo de intervalos .
- ^ Walter, E .; Piet-Lahanier, H. (1989). "Descripción poliédrica recursiva exacta del conjunto de parámetros factible para modelos de error acotado". Transacciones IEEE sobre control automático . 34 (8). doi : 10.1109 / 9.29443 .
- ^ Kreinovich, V .; Lakeyev, AV; Rohn, J .; Kahl, PT (1997). "Complejidad computacional y viabilidad del procesamiento de datos y cálculos de intervalo". Computación confiable . 4 (4).
- ^ Fogel, E .; Huang, YF (1982). "Sobre el valor de la información en la identificación de sistemas - Caso de ruido limitado". Automatica . 18 (2). doi : 10.1016 / 0005-1098 (82) 90110-8 .
- ^ Schweppe, FC (1968). "Estimación de estado recursivo: entradas del sistema y errores desconocidos pero limitados". Transacciones IEEE sobre control automático . 13 (1). doi : 10.1109 / tac.1968.1098790 .
- ^ Kieffer, M .; Jaulin, L .; Walter, E. (1998). "Estimación de estado no lineal recursiva garantizada mediante análisis de intervalo" (PDF) . Actas de la 37ª Conferencia IEEE sobre Decisión y Control . 4 .