En matemáticas, la inversión de conjuntos es el problema de caracterizar la preimagen X de un conjunto Y mediante una función f , es decir, X = f −1 ( Y ) = { x ∈ R n | f ( x ) ∈ Y }. También puede verse como el problema de describir el conjunto de solución de la restricción cuantificada "Y (f (x))", donde Y (y) es una restricción, por ejemplo, una desigualdad, que describe el conjunto Y.
En la mayoría de las aplicaciones, f es una función de R n a R p y el conjunto Y es una caja de R p (es decir, un producto cartesiano de p intervalos de R ).
Cuando f no es lineal, el problema de inversión de conjuntos se puede resolver [1] utilizando un análisis de intervalo combinado con un algoritmo de bifurcación y cota . [2]
La idea principal consiste en construir un pavimento de R p realizado con cajones no superpuestos. Para cada casilla [ x ], realizamos las siguientes pruebas:
- si f ([ x ]) ⊂ Y concluimos que [ x ] ⊂ X ;
- si f ([ x ]) ∩ Y = ∅ concluimos que [ x ] ∩ X = ∅;
- De lo contrario, la caja [ x ] la caja se divide en dos, excepto si su ancho es menor que una precisión dada.
Para verificar las dos primeras pruebas, necesitamos una extensión de intervalo (o una función de inclusión) [ f ] para f . Las cajas clasificadas se almacenan en subpavimentos , es decir, unión de cajas que no se superponen. El algoritmo se puede hacer más eficiente reemplazando las pruebas de inclusión por parte de los contratistas .
Ejemplo
El conjunto X = f −1 ([4,9]) donde f ( x 1 , x 2 ) = x2
1+ x2
2 está representado en la figura.
Por ejemplo, dado que [−2,1] 2 + [4,5] 2 = [0,4] + [16,25] = [16,29] no interseca el intervalo [4,9], concluimos que el cuadro [-2,1] × [4,5] está fuera X . Dado que [−1,1] 2 + [2, √ 5 ] 2 = [0,1] + [4,5] = [4,6] está dentro de [4,9], concluimos que todo el cuadro [- 1,1] × [2, √ 5 ] está dentro de X .
Solicitud
La inversión de conjuntos se utiliza principalmente para la planificación de rutas , para la estimación de conjuntos de parámetros no lineales [3] [4] , para la localización [5] [6] o para la caracterización de dominios de estabilidad de sistemas dinámicos lineales. [7] .
Referencias
- ^ Jaulin, L .; Walter, E. (1993). "Establecer inversión mediante análisis de intervalo para la estimación de errores acotados no lineales" (PDF) . Automatica . 29 (4): 1053–1064. doi : 10.1016 / 0005-1098 (93) 90106-4 .
- ^ Jaulin, L .; Kieffer, M .; Didrit, O .; Walter, E. (2001). Análisis de intervalo aplicado . Berlín: Springer. ISBN 1-85233-219-0.
- ^ Jaulin, L .; Godet, JL; Walter, E .; Elliasmine, A .; Leduff, Y. (1997). "Análisis de datos de dispersión de luz mediante inversión de conjuntos" (PDF) . Revista de Física A: Matemática y General . 30 : 7733–7738. Código Bibliográfico : 1997JPhA ... 30.7733J . doi : 10.1088 / 0305-4470 / 30/22/012 .
- ^ Braems, I .; Berthier, F .; Jaulin, L .; Kieffer, M .; Walter, E. (2001). "Estimación garantizada de parámetros electroquímicos por inversión de conjuntos mediante análisis de intervalo" (PDF) . Revista de Química Electroanalítica . 495 (1).
- ^ Colle, E .; Galerne, S. (2013). "Localización de robots móviles por multiangulación mediante inversión de conjuntos". Robótica y sistemas autónomos . 66 (1). doi : 10.1016 / j.robot.2012.09.006 .
- ^ Drevelle, V .; Bonnifait, Ph. (2011). "Un enfoque de membresía de conjunto para el posicionamiento satelital asistido en altura de alta integridad" . Soluciones GPS . 15 (4).
- ^ Walter, E .; Jaulin, L. (1994). "Caracterización garantizada de dominios de estabilidad mediante inversión de conjuntos" (PDF) . IEEE Trans. Autom. Control . 39 (4).