Segunda forma fundamental
En geometría diferencial , la segunda forma fundamental (o tensor de forma ) es una forma cuadrática en el plano tangente de una superficie lisa en el espacio euclidiano tridimensional , generalmente denotado por (léase "dos"). Junto con la primera forma fundamental , sirve para definir invariantes extrínsecos de la superficie, sus principales curvaturas . De manera más general, dicha forma cuadrática se define para una subvariedad sumergida suave en una variedad de Riemann .
La segunda forma fundamental de una superficie paramétrica S en R 3 fue introducida y estudiada por Gauss . Primero suponga que la superficie es la gráfica de una función dos veces diferenciable continuamente , z = f ( x , y ) , y que el plano z = 0 es tangente a la superficie en el origen. Entonces f y sus derivadas parciales con respecto a xey desaparecen en (0,0). Por tanto, la expansión de Taylor de f en (0,0) comienza con términos cuadráticos:
Para un punto suave P en S , se puede elegir el sistema de coordenadas de modo que el plano z = 0 sea tangente a S en P , y definir la segunda forma fundamental de la misma manera.
La segunda forma fundamental de una superficie paramétrica general se define como sigue. Sea r = r ( u , v ) una parametrización regular de una superficie en R 3 , donde r es una función de valor vectorial suave de dos variables. Es común denotar las derivadas parciales de r con respecto a u y v por r u y r v . La regularidad de la parametrización significa que r u y r v son linealmente independientes para cualquier (u , v ) en el dominio de r , y por lo tanto abarcan el plano tangente a S en cada punto. De manera equivalente, el producto cruzado r u × r v es un vector distinto de cero normal a la superficie. La parametrización define así un campo de vectores normales unitarios n :
Los coeficientes L , M , N en un punto dado en el plano uv paramétrico están dados por las proyecciones de las segundas derivadas parciales de r en ese punto sobre la línea normal a S y se pueden calcular con la ayuda del producto escalar como sigue:
Para un campo de distancia con signo de Hessiano H , los coeficientes de la segunda forma fundamental se pueden calcular de la siguiente manera:
