En matemáticas y sus aplicaciones, la función de distancia con signo (o función de distancia orientada ) de un conjunto Ω en un espacio métrico determina la distancia de un punto dado x desde el límite de Ω, con el signo determinado por si x está en Ω. La función tiene valores positivos en los puntos x dentro de Ω, su valor disminuye a medida que x se acerca al límite de Ω donde la función de distancia con signo es cero, y toma valores negativos fuera de Ω. [1]Sin embargo, a veces también se toma la convención alternativa (es decir, negativo dentro Ω y positivo fuera). [2]
Definición
Si Ω es un subconjunto de un espacio métrico , X , con métrica , d , entonces la función de distancia con signo , f , está definida por
dónde denota el límite de. Para cualquier,
donde inf denota el infimum .
Propiedades en espacio euclidiano
Si Ω es un subconjunto del espacio euclidiano R n con un límite suave a trozos , entonces la función de distancia con signo es diferenciable en casi todas partes y su gradiente satisface la ecuación eikonal
Si el límite de Ω es C k para k ≥ 2 (ver Clases de diferenciabilidad ), entonces d es C k en puntos suficientemente cercanos al límite de Ω. [3] En particular, en el límite f satisface
donde N es el campo vectorial normal hacia adentro. La función de distancia con signo es, por tanto, una extensión diferenciable del campo vectorial normal. En particular, el hessiano de la función de distancia con signo en el límite de Ω da el mapa de Weingarten .
Si, además, Γ es una región lo suficientemente cerca del límite de Ω que f es dos veces diferenciable continuamente en ella, entonces hay una fórmula explícita que involucra el mapa de Weingarten W x para el jacobiano de variables cambiantes en términos de la función de distancia con signo y punto límite más cercano. Específicamente, si T ( ∂ Ω, μ ) es el conjunto de puntos dentro de la distancia μ del límite de Ω (es decir, la vecindad tubular de radio μ ), yg es una función absolutamente integrable en Γ, entonces
donde det denota el determinante y dS u indica que estamos tomando la integral de superficie . [4]
Algoritmos
Algoritmos para el cálculo de la función de distancia con signo incluyen el eficiente método de marcha rápida , rápido método de barrido [5] y el más general nivel de conjunto método .
Aplicaciones
Las funciones de distancia firmadas se aplican, por ejemplo, en renderizado en tiempo real [6] y visión por computadora . [7] [8]
Se introdujo una versión modificada de SDF para minimizar el error en la interpenetración de píxeles al renderizar múltiples objetos. [9] En particular, para cualquier píxel que no pertenezca a un objeto, si se encuentra fuera del objeto en reproducción, no se impone ninguna penalización; si lo hace, se impone un valor positivo proporcional a su distancia dentro del objeto.
También se han utilizado en un método (avanzado por Valve ) para renderizar fuentes suaves en tamaños grandes (o alternativamente en DPI alto ) usando aceleración de GPU . [10] El método de Valve calculó campos de distancia firmados en el espacio ráster para evitar la complejidad computacional de resolver el problema en el espacio vectorial (continuo). Más recientemente se han propuesto soluciones de aproximación por partes (que, por ejemplo, se aproximan a un Bézier con arc splines), pero incluso de esta manera, el cálculo puede ser demasiado lento para el renderizado en tiempo real , y debe ser asistido por técnicas de discretización basadas en cuadrículas. para aproximar (y eliminar del cálculo) la distancia a los puntos que están demasiado lejos. [11]
En 2020, el motor de juegos FOSS Godot 4.0 recibió iluminación global en tiempo real basada en SDF (SDFGI), que se convirtió en un compromiso entre GI basado en vóxeles más realista y GI horneado. Su principal ventaja es que se puede aplicar al espacio infinito, lo que permite a los desarrolladores usarlo para juegos de mundo abierto. [ cita requerida ]
Ver también
- Función de distancia
- Método de ajuste de nivel
- Ecuación de Eikonal
- Curva paralela (también conocida como desplazamiento)
Notas
- ^ Chan, T .; Zhu, W. (2005). Segmentación previa de forma basada en conjuntos de niveles . Conferencia de la IEEE Computer Society sobre Visión por Computador y Reconocimiento de Patrones. doi : 10.1109 / CVPR.2005.212 .
- ^ Malladi, R .; Sethian, JA; Vemuri, BC (1995). "Modelado de formas con propagación frontal: un enfoque de conjunto de niveles". Transacciones IEEE sobre análisis de patrones e inteligencia de máquinas . 17 (2): 158-175. CiteSeerX 10.1.1.33.2443 . doi : 10.1109 / 34.368173 .
- ^ Gilbarg 1983 , Lema 14.16.
- ↑ Gilbarg 1983 , Ecuación (14.98).
- ^ Zhao Hongkai . Un método de barrido rápido para ecuaciones eikonales . Matemáticas de la Computación, 2005, 74. Jg., Nr. 250, S. 603-627.
- ^ Tomas Akenine-Möller; Eric Haines; Naty Hoffman (6 de agosto de 2018). Renderizado en tiempo real, cuarta edición . Prensa CRC. ISBN 978-1-351-81615-1.
- ^ Perera, S .; Barnes, N .; Él, X .; Izadi, S .; Kohli, P .; Glocker, B. (enero de 2015). "Segmentación de movimiento de superficies volumétricas basadas en función de distancia firmada truncada". Conferencia de invierno de IEEE 2015 sobre aplicaciones de la visión por computadora : 1046–1053. doi : 10.1109 / WACV.2015.144 . ISBN 978-1-4799-6683-7. S2CID 16811314 .
- ^ Izadi, Shahram; Kim, David; Hilliges, Otmar; Molyneaux, David; Newcombe, Richard; Kohli, Pushmeet; Shotton, Jamie; Hodges, Steve; Freeman, Dustin (2011). "KinectFusion: reconstrucción e interacción 3D en tiempo real utilizando una cámara de profundidad en movimiento". Actas del 24º Simposio anual de ACM sobre software y tecnología de interfaz de usuario . UIST '11. Nueva York, NY, EE. UU .: ACM: 559–568. doi : 10.1145 / 2047196.2047270 . ISBN 9781450307161. S2CID 3345516 .
- ^ Jiang, Wen; Kolotouros, Nikos; Pavlakos, Georgios; Zhou, Xiaowei; Daniilidis, Kostas (15 de junio de 2020). "Reconstrucción coherente de múltiples seres humanos a partir de una sola imagen". arXiv : 2006.08586 [ cs.CV ].
- ^ Green, Chris (2007). "Aumento mejorado alfa probado para texturas vectoriales y efectos especiales". Cursos ACM SIGGRAPH 2007 en - SIGGRAPH '07 : 9. CiteSeerX 10.1.1.170.9418 . doi : 10.1145 / 1281500.1281665 . ISBN 9781450318235. S2CID 7479538 .
- ^ https://www.youtube.com/watch?v=7tHv6mcIIeo
Referencias
- Stanley J. Osher y Ronald P. Fedkiw (2003). Métodos de conjunto de niveles y superficies dinámicas implícitas . Saltador. ISBN 9780387227467.
- Gilbarg, D .; Trudinger, NS (1983). Ecuaciones diferenciales parciales elípticas de segundo orden . Grundlehren der mathischen Wissenschaften. 224 (2ª ed.). Springer-Verlag. (o el Apéndice de la 1a ed. de 1977)