En la disciplina matemática de la teoría de conjuntos , 0 # ( cero sostenido , también 0# ) es el conjunto de fórmulas verdaderas sobre indiscernibles e indiscernibles de orden en el universo construible de Gödel . A menudo se codifica como un subconjunto de los números enteros (usando la numeración de Gödel ), o como un subconjunto de los conjuntos hereditariamente finitos , o como un número real . Su existencia es indemostrable en ZFC , la forma estándar de la teoría axiomática de conjuntos , pero se sigue de un cardinal grande adecuadoaxioma. Se introdujo por primera vez como un conjunto de fórmulas en la tesis de Silver de 1966, luego se publicó como Silver (1971) , donde se denotaba con Σ, y fue redescubierto por Solovay (1967 , p.52), quien lo consideró como un subconjunto de las fórmulas naturales. números e introdujo la notación O # (con una letra O mayúscula; esto luego cambió al número '0').
En términos generales, si 0 # existe, entonces el universo V de conjuntos es mucho más grande que el universo L de conjuntos construibles, mientras que si no existe, el universo de todos los conjuntos se aproxima mucho a los conjuntos construibles.
El cero sostenido fue definido por Silver y Solovay de la siguiente manera. Considere el lenguaje de la teoría de conjuntos con símbolos extra constantes c 1 , c 2 , ... para cada entero positivo. Entonces 0 # se define como el conjunto de números de Gödel de las oraciones verdaderas sobre el universo construible, con c i interpretado como el cardinal incontable ℵ i . (Aquí ℵ i significa ℵ i en el universo completo, no en el universo construible).
Hay una sutileza en esta definición: por el teorema de indefinibilidad de Tarski , en general, no es posible definir la verdad de una fórmula de la teoría de conjuntos en el lenguaje de la teoría de conjuntos. Para resolver esto, Silver y Solovay asumieron la existencia de un cardenal grande adecuado, como un cardenal Ramsey , y demostraron que con esta suposición adicional es posible definir la verdad de las afirmaciones sobre el universo construible. De manera más general, la definición de 0 # funciona siempre que haya un conjunto incontable de indiscernibles para algunos L α , y la frase "0 # existe" se usa como una forma abreviada de decir esto.
Hay varias variaciones menores de la definición de 0 # , que no hacen una diferencia significativa en sus propiedades. Hay muchas opciones diferentes de numeración de Gödel, y 0 # depende de esta elección. En lugar de ser considerado como un subconjunto de los números naturales, también es posible codificar 0 # como un subconjunto de fórmulas de un idioma, o como un subconjunto de los conjuntos hereditariamente finitos, o como un número real.
La condición sobre la existencia de un cardenal Ramsey que implica que existe 0 # puede debilitarse. La existencia de ω 1 - cardenales de Erdős implica la existencia de 0 # . Esto está cerca de ser lo mejor posible, porque la existencia de 0 # implica que en el universo construible hay un cardinal α-Erdős para todos los α contables, por lo que tales cardenales no pueden usarse para probar la existencia de 0 # .