Cardenal ramsey
En matemáticas , un cardenal de Ramsey es un cierto tipo de número cardinal grande introducido por Erdős & Hajnal (1962) y que lleva el nombre de Frank P. Ramsey , cuyo teorema establece que ω disfruta de una cierta propiedad que los cardenales de Ramsey generalizan al caso incontable.
Sea [κ] <ω el conjunto de todos los subconjuntos finitos de κ. Un número cardinal incontable κ se llama Ramsey si, para cada función
- f : [κ] <ω → {0, 1}
hay un conjunto A de cardinalidad κ que es homogéneo para f . Es decir, para cada n , f es constante en los subconjuntos de cardinalidad n de A . A κ cardinal se llama inefablemente Ramsey si A puede ser elegido para ser estacionario subconjunto de κ. Un cardinal κ se llama virtualmente Ramsey si para cada función
- f : [κ] <ω → {0, 1}
hay C , un subconjunto cerrado e ilimitado de κ, de modo que por cada λ en C de cofinalidad incontable , hay un subconjunto ilimitado de λ que es homogéneo para f ; un poco más débil es la noción de casi Ramsey donde se requieren conjuntos homogéneos para f de tipo de orden λ, para cada λ <κ.
La existencia de cualquiera de estos tipos de cardenal de Ramsey es suficiente para probar la existencia de 0 # , o de hecho, que todo conjunto con rango menor que κ tiene un sostenido .
Todo cardenal medible es un cardenal de Ramsey, y todo cardenal de Ramsey es un cardenal de Rowbottom .
Una propiedad intermedia en fuerza entre Ramseyness y mensurabilidad es la existencia de un I ideal no principal normal completo κ en κ tal que para cada A ∉ I y para cada función
- f : [κ] <ω → {0, 1}
hay un conjunto B ⊂ A no en I que es homogéneo para f . Esto es estrictamente más fuerte que κ siendo inefablemente Ramsey.
La existencia de un cardenal Ramsey implica la existencia de 0 # y esto a su vez implica la falsedad del Axioma de Constructibilidad de Kurt Gödel .
Referencias
- Drake, FR (1974). Teoría de conjuntos: Introducción a los grandes cardenales (Estudios de lógica y fundamentos de las matemáticas; V. 76) . Elsevier Science Ltd. ISBN 0-444-10535-2.
- Erdős, Paul ; Hajnal, András (1962), "Algunas observaciones sobre nuestro artículo" Sobre la estructura de los mapeos de conjuntos . No existencia de una medida σ de dos valores para el primer cardenal inaccesible incontable ", Acta Mathematica Academiae Scientiarum Hungaricae , 13 : 223–226, doi : 10.1007 / BF02033641 , ISSN 0001-5954 , MR 0141603
- Kanamori, Akihiro (2003). El infinito superior: grandes cardenales en la teoría de conjuntos desde sus inicios (2ª ed.). Saltador. ISBN 3-540-00384-3.
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