cuerpo de proyección

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En geometría convexa , el cuerpo de proyección de un cuerpo convexo en el espacio euclidiano n -dimensional es el cuerpo convexo tal que para cualquier vector , la función de soporte de en la dirección u es el volumen ( n  – 1)-dimensional de la proyección de K sobre el hiperplano ortogonal a u . ${\ estilo de visualización \ Pi K}$ ${\ estilo de visualización K}$${\displaystyle u\en S^{n-1}}$${\ estilo de visualización \ Pi K}$

Minkowski demostró que el cuerpo de proyección de un cuerpo convexo es convexo. Petty (1967) y Schneider (1967) utilizaron cuerpos de proyección en su solución al problema de Shephard .

Para un cuerpo convexo, denotemos el cuerpo polar de su cuerpo de proyección. Hay dos notables desigualdades isoperimétricas afines para este cuerpo. Petty (1971) demostró que para todos los cuerpos convexos ,${\ estilo de visualización K}$${\displaystyle \Pi ^{\circ }K}$${\ estilo de visualización K}$

donde denota la bola unidad n -dimensional y es el volumen n -dimensional, y existe igualdad precisamente para los elipsoides. Zhang (1991) demostró que para todos los cuerpos convexos ,${\ estilo de visualización B ^ {n}}$${\displaystyle V_{n}}$${\ estilo de visualización K}$

donde denota cualquier símplex -dimensional, y existe igualdad precisamente para tales símplex.${\displaystyle T^{n}}$${\ estilo de visualización n}$

El cuerpo de intersección IK de K se define de manera similar, como el cuerpo de la estrella tal que para cualquier vector u la función radial de IK desde el origen en la dirección u es el volumen ( n  – 1) dimensional de la intersección de K con el hiperplano u ^⊥ . De manera equivalente, la función radial del cuerpo de intersección IK es la transformada de Funk de la función radial de K . Los cuerpos de intersección fueron introducidos por Lutwak (1988) .

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