En matemáticas , la primera desigualdad de Minkowski para cuerpos convexos es un resultado geométrico del matemático alemán Hermann Minkowski . La desigualdad está estrechamente relacionada con la desigualdad de Brunn-Minkowski y la desigualdad isoperimétrica .
Declaración de la desigualdad
Deje que K y L sea dos n - dimensional cuerpos convexos en n -dimensional espacio euclidiano R n . Defina una cantidad V 1 ( K , L ) por
donde V denota la medida de Lebesgue n- dimensional y + denota la suma de Minkowski . Luego
con igualdad si y solo si K y L son homotéticos , es decir, son iguales hasta traslación y dilatación .
Observaciones
- V 1 es solo un ejemplo de una clase de cantidades conocidas como volúmenes mixtos .
- Si L es la bola B unitaria n- dimensional , entonces n V 1 ( K , B ) es la medida de superficie ( n - 1) dimensional de K , denotada S ( K ).
Conexión con otras desigualdades
La desigualdad de Brunn-Minkowski
Se puede demostrar que la desigualdad de Brunn-Minkowski para cuerpos convexos en R n implica la primera desigualdad de Minkowski para cuerpos convexos en R n , y que la igualdad en la desigualdad de Brunn-Minkowski implica igualdad en la primera desigualdad de Minkowski.
La desigualdad isoperimétrica
Tomando L = B , la bola unitaria n- dimensional, en la primera desigualdad de Minkowski para cuerpos convexos, se obtiene la desigualdad isoperimétrica para cuerpos convexos en R n : si K es un cuerpo convexo en R n , entonces
con igualdad si y solo si K es una bola de algún radio.
Referencias
- Gardner, Richard J. (2002). "La desigualdad de Brunn-Minkowski" . Toro. Amer. Matemáticas. Soc. (NS) . 39 (3): 355–405 (electrónico). doi : 10.1090 / S0273-0979-02-00941-2 .