Curva de Sierpiński
Las curvas de Sierpiński son una secuencia definida de forma recursiva de curvas fractales continuas de plano cerrado descubiertas por Wacław Sierpiński , que en el límite llenan completamente el cuadrado unitario: por lo tanto, su curva límite, también llamada curva de Sierpiński , es un ejemplo de una curva de relleno de espacio .
Debido a que la curva de Sierpiński ocupa espacio, su dimensión de Hausdorff (en el límite ) es .
La longitud euclidiana de la ésimo curva de iteración es
es decir, que crece de forma exponencial con más allá de cualquier límite, mientras que el límite para el área encerrada por es la de la plaza (en métrica euclidiana).
La curva de Sierpiński es útil en varias aplicaciones prácticas porque es más simétrica que otras curvas de relleno de espacio comúnmente estudiadas. Por ejemplo, se ha utilizado como base para la construcción rápida de una solución aproximada al problema del vendedor ambulante (que pide la secuencia más corta de un conjunto de puntos dado): la heurística es simplemente visitar los puntos en la misma secuencia tal como aparecen en la curva de Sierpiński. [3] Para hacer esto, se requieren dos pasos: Primero, calcular una imagen inversa de cada punto que se visitará; luego ordene los valores. Esta idea se ha utilizado para crear sistemas de enrutamiento para vehículos comerciales basados únicamente en archivos de tarjetas Rolodex. [4]
Una curva de relleno de espacio es un mapa continuo del intervalo unitario en un cuadrado unitario y, por lo tanto, una (pseudo) inversa asigna el cuadrado unitario al intervalo unitario. Una forma de construir un pseudo-inverso es la siguiente. Deje que la esquina inferior izquierda (0, 0) del cuadrado unitario corresponda a 0.0 (y 1.0). Luego, la esquina superior izquierda (0, 1) debe corresponder a 0,25, la esquina superior derecha (1, 1) a 0,50 y la esquina inferior derecha (1, 0) a 0,75. El mapa inverso de puntos interiores se calcula aprovechando la estructura recursiva de la curva. Aquí hay una función codificada en Java que calculará la posición relativa de cualquier punto en la curva de Sierpiński (es decir, un valor pseudo-inverso). Toma como entrada las coordenadas del punto (x, y) a invertir, y las esquinas de un triángulo isósceles recto circundante (ax, ay), (bx, by) y (cx, cy).(Tenga en cuenta que el cuadrado unitario es la unión de dos de estos triángulos). Los parámetros restantes especifican el nivel de precisión con el que se debe calcular el inverso.
Aquí, tanto F como G significan "avanzar", + significa "girar a la izquierda 45 °" y - significa "girar a la derecha 45 °" (ver gráficos de tortugas ). La curva generalmente se dibuja con diferentes longitudes para F y G.
