El triángulo de Sierpiński (a veces escrito Sierpinski ), también llamado junta de Sierpiński o tamiz de Sierpiński , es un conjunto fijo atractivo fractal con la forma general de un triángulo equilátero , subdividido recursivamente en triángulos equiláteros más pequeños. Construido originalmente como una curva, este es uno de los ejemplos básicos de conjuntos auto-similares , es decir, es un patrón generado matemáticamente que es reproducible con cualquier aumento o reducción. Lleva el nombre del matemático polaco Wacław Sierpiński. , pero apareció como patrón decorativo muchos siglos antes de la obra de Sierpiński. [1] [2]
Construcciones
Hay muchas formas diferentes de construir el triángulo de Sierpinski.
Eliminar triángulos
El triángulo de Sierpinski se puede construir a partir de un triángulo equilátero mediante la eliminación repetida de subconjuntos triangulares:
- Comienza con un triángulo equilátero.
- Subdividirlo en cuatro triángulos equiláteros congruentes más pequeños y eliminar el triángulo central.
- Repite el paso 2 con cada uno de los triángulos más pequeños restantes infinitamente.
Cada triángulo eliminado (un trema ) es topológicamente un conjunto abierto . [3] Este proceso de eliminar triángulos de forma recursiva es un ejemplo de una regla de subdivisión finita .
Reducción y duplicación
La misma secuencia de formas, convergiendo al triángulo de Sierpinski, se puede generar alternativamente mediante los siguientes pasos:
- Comience con cualquier triángulo en un plano (cualquier región cerrada y delimitada en el plano realmente funcionará). El triángulo canónico de Sierpinski usa un triángulo equilátero con una base paralela al eje horizontal (primera imagen).
- Encoge el triángulo para 1/2 altura y 1/2ancho, haga tres copias y coloque los tres triángulos encogidos de modo que cada triángulo toque los otros dos triángulos en una esquina (imagen 2). Tenga en cuenta la aparición del agujero central, porque los tres triángulos encogidos pueden cubrir sólo entre ellos 3/4del área del original. (Los agujeros son una característica importante del triángulo de Sierpinski).
- Repite el paso 2 con cada uno de los triángulos más pequeños (imagen 3 y así sucesivamente).
Tenga en cuenta que este proceso infinito no depende de que la forma inicial sea un triángulo; es más claro de esa manera. Los primeros pasos que comienzan, por ejemplo, desde un cuadrado también tienden hacia un triángulo de Sierpinski. Michael Barnsley usó una imagen de un pez para ilustrar esto en su artículo "Fractales y superfractales V-variable". [4] [5]
El fractal real es lo que se obtendría después de un número infinito de iteraciones. Más formalmente, se lo describe en términos de funciones sobre conjuntos cerrados de puntos. Si dejamos que d A denote la dilatación por un factor de 1/2alrededor de un punto A, entonces el triángulo de Sierpinski con las esquinas A, B, y C es el conjunto fijo de la transformación d A ∪ d B ∪ d C .
Se trata de un atractivo conjunto fijo , de modo que cuando la operación se aplica a cualquier otro conjunto repetidamente, las imágenes convergen en el triángulo de Sierpinski. Esto es lo que está sucediendo con el triángulo de arriba, pero cualquier otro conjunto sería suficiente.
Juego del caos
Si uno toma un punto y le aplica cada una de las transformaciones d A , d B y d C al azar, los puntos resultantes serán densos en el triángulo de Sierpinski, por lo que el siguiente algoritmo generará nuevamente aproximaciones arbitrariamente cercanas a él: [6 ]
Comience etiquetando p 1 , p 2 y p 3 como las esquinas del triángulo de Sierpinski y un punto aleatorio v 1 . Establecer v n +1 = 1/2( V n + p r n ) , donde r n es un número aleatorio 1, 2 o 3. Dibujar los puntos v 1 a v ∞ . Si el primer punto v 1 era un punto en el triángulo de Sierpiński, entonces todos los puntos v n se encuentran en el triángulo de Sierpinski. Si el primer punto v 1 que se encuentra dentro del perímetro del triángulo no es un punto en el triángulo de Sierpinski, ninguno de los puntos v n estará en el triángulo de Sierpinski, sin embargo, convergerán en el triángulo. Si v 1 está fuera del triángulo, la única forma en que v n aterrizará en el triángulo real es si v n está en lo que sería parte del triángulo, si el triángulo fuera infinitamente grande.
O más simplemente:
- Toma tres puntos en un plano para formar un triángulo, no necesitas dibujarlo.
- Seleccione al azar cualquier punto dentro del triángulo y considere su posición actual.
- Seleccione aleatoriamente cualquiera de los tres puntos de vértice.
- Mueva la mitad de la distancia desde su posición actual hasta el vértice seleccionado.
- Trace la posición actual.
- Repita desde el paso 3.
Este método también se denomina juego del caos y es un ejemplo de un sistema de funciones iteradas . Puede comenzar desde cualquier punto fuera o dentro del triángulo, y eventualmente formaría la Junta de Sierpinski con algunos puntos sobrantes (si el punto de partida se encuentra en el contorno del triángulo, no hay puntos sobrantes). Con lápiz y papel, se forma un breve trazo después de colocar aproximadamente cien puntos, y el detalle comienza a aparecer después de unos cientos. Puede encontrar una versión interactiva del juego del caos aquí.
Construcción de punta de flecha de la junta de Sierpinski
Otra construcción de la junta de Sierpinski muestra que se puede construir como una curva en el plano. Está formado por un proceso de modificación repetida de curvas más simples, análogo a la construcción del copo de nieve de Koch :
- Comience con un solo segmento de línea en el plano
- Reemplace repetidamente cada segmento de línea de la curva con tres segmentos más cortos, formando ángulos de 120 ° en cada unión entre dos segmentos consecutivos, con el primer y último segmento de la curva paralelos al segmento de línea original o formando un ángulo de 60 ° con él.
En cada iteración, esta construcción da una curva continua. En el límite, estos se acercan a una curva que traza el triángulo de Sierpinski mediante una única trayectoria continua dirigida (infinitamente ondulada), que se denomina punta de flecha de Sierpinski . [8] De hecho, el objetivo del artículo original de Sierpinski de 1915 era mostrar un ejemplo de curva (una curva cantoriana), como dice el propio título del artículo. [9] [2]
Autómata celular
El triángulo de Sierpinski también aparece en ciertos autómatas celulares (como la Regla 90 ), incluidos los relacionados con el Juego de la vida de Conway . Por ejemplo, el autómata celular Life-like B1 / S12 cuando se aplica a una sola celda generará cuatro aproximaciones del triángulo de Sierpinski. [10] Una línea muy larga de una celda de grosor en la vida estándar creará dos triángulos de Sierpinski reflejados. El diagrama espacio-temporal de un patrón replicador en un autómata celular también se parece a menudo a un triángulo de Sierpinski, como el del replicador común en HighLife. [11] El triángulo de Sierpinski también se puede encontrar en el autómata Ulam-Warburton y el autómata Hex-Ulam-Warburton. [12]
Triángulo de Pascal
Si uno toma el triángulo de Pascal con 2 n filas y colorea los números pares de blanco y los impares de negro, el resultado es una aproximación al triángulo de Sierpinski. Más precisamente, el límite cuando n se acerca al infinito de este triángulo de Pascal de 2 n filas de color paridad es el triángulo de Sierpinski. [13]
Torres de Hanoi
El rompecabezas de las Torres de Hanoi implica mover discos de diferentes tamaños entre tres clavijas, manteniendo la propiedad de que nunca se coloca ningún disco encima de un disco más pequeño. Los estados de un rompecabezas de n- discos, y los movimientos permitidos de un estado a otro, forman un gráfico no dirigido , el gráfico de Hanoi , que se puede representar geométricamente como el gráfico de intersección del conjunto de triángulos que quedan después del n- ésimo paso en el construcción del triángulo de Sierpinski. Por lo tanto, en el límite cuando n llega al infinito, esta secuencia de gráficos se puede interpretar como un análogo discreto del triángulo de Sierpinski. [14]
Propiedades
Para un número entero de dimensiones d , al doblar un lado de un objeto, se crean 2 copias d del mismo, es decir, 2 copias para un objeto unidimensional, 4 copias para un objeto bidimensional y 8 copias para un objeto tridimensional. Para el triángulo de Sierpinski, doblar su lado crea 3 copias de sí mismo. Así, el triángulo de Sierpinski tiene dimensión de Hausdorfftronco (3)/tronco (2) = log 2 3 ≈ 1.585, que se sigue de resolver 2 d = 3 para d . [15]
El área de un triángulo de Sierpinski es cero (en medida de Lebesgue ). El área restante después de cada iteración es 3/4del área de la iteración anterior, y un número infinito de iteraciones da como resultado un área cercana a cero. [dieciséis]
Los puntos de un triángulo de Sierpinski tienen una caracterización simple en coordenadas baricéntricas . [17] Si un punto tiene coordenadas (0. u 1 u 2 u 3 …, 0. v 1 v 2 v 3 …, 0. w 1 w 2 w 3 …), expresadas como números binarios , entonces el punto está en Triángulo de Sierpinski si y solo si u i + v i + w i = 1 para todo i .
Generalización a otros módulos
También se puede generar una generalización del triángulo de Sierpinski usando el triángulo de Pascal si se usa un módulo diferente. La iteración n se pueden generar mediante la adopción de un triángulo de Pascal con P n filas y colorear números por su valor para x mod P . Cuando n se acerca al infinito, se genera un fractal.
El mismo fractal se puede lograr dividiendo un triángulo en una teselación de P 2 triángulos similares y quitando los triángulos que están al revés del original, luego iterando este paso con cada triángulo más pequeño.
Por el contrario, el fractal también se puede generar comenzando con un triángulo y duplicándolo y organizando n ( n + 1)/2de las nuevas figuras en la misma orientación en un triángulo similar más grande con los vértices de las figuras anteriores tocándose, luego iterando ese paso. [18]
Análogos en dimensiones superiores
El tetraedro de Sierpinski o tetrix es el análogo tridimensional del triángulo de Sierpinski, formado al contraer repetidamente un tetraedro regular a la mitad de su altura original, juntando cuatro copias de este tetraedro con las esquinas tocándose y luego repitiendo el proceso.
Una tetriz construida a partir de un tetraedro inicial de longitud lateral L tiene la propiedad de que el área de la superficie total permanece constante con cada iteración. El área de superficie inicial del tetraedro (iteración-0) de longitud lateral L es L 2 √ 3 . La siguiente iteración consta de cuatro copias con longitud lateral L/2, entonces el área total es 4 ( L/2) 2 √ 3 = 4 L 2 · √ 3/4 = L 2 √ 3 nuevamente. Mientras tanto, el volumen de la construcción se reduce a la mitad en cada paso y, por lo tanto, se acerca a cero. El límite de este proceso no tiene volumen ni superficie pero, como la junta de Sierpinski, es una curva intrincadamente conectada. Su dimensión de Hausdorff es tronco (4)/tronco (2) = 2. Si todos los puntos se proyectan en un plano que es paralelo a dos de los bordes exteriores, llenan exactamente un cuadrado de longitud lateral L/√ 2sin superposición. [19]
Historia
Wacław Sierpiński describió el triángulo de Sierpinski en 1915. Sin embargo, patrones similares ya aparecen en los mosaicos Cosmati del siglo XIII en la catedral de Anagni , Italia , [20] y otros lugares del centro de Italia, para alfombras en muchos lugares como la nave de la basílica romana de Santa María en Cosmedin , [21] y por triángulos aislados colocados en rotae en varias iglesias y basílicas. [1] [2] En el caso del triángulo aislado, la iteración es de al menos tres niveles.
Recientemente se ha estudiado un triángulo medieval, con datación históricamente cierta [2] . Está en pórfido y hoja dorada, aislado, iteración de nivel 4
La junta apolínea fue descrita por primera vez por Apolonio de Perga (siglo III a.C.) y analizada con más detalle por Gottfried Leibniz (siglo XVII), y es un precursor curvo del triángulo de Sierpiński del siglo XX. [22]
Etimología
El uso de la palabra "junta" para referirse al triángulo de Sierpinski se refiere a juntas como las que se encuentran en los motores , y que a veces presentan una serie de orificios de tamaño decreciente, similar al fractal; este uso fue acuñado por Benoit Mandelbrot , quien pensó que el fractal se parecía a "la parte que evita fugas en los motores". [23]
Ver también
- Junta apolínea , un conjunto de círculos mutuamente tangentes con la misma estructura combinatoria que el triángulo de Sierpinski
- Lista de fractales por dimensión de Hausdorff
- Alfombra de Sierpinski , otro fractal que lleva el nombre de Sierpinski y se forma al eliminar repetidamente cuadrados de un cuadrado más grande
- Trifuerza , una reliquia de la serie Legend of Zelda
Referencias
- ↑ a b Conversano, Elisa; Tedeschini-Lalli, Laura (2011), "Triángulos de Sierpinski en piedra sobre pisos medievales en Roma" (PDF) , Revista APLIMAT de Matemáticas Aplicadas , 4 : 114, 122
- ^ a b c d Brunori, Paola; Magrone, Paola; Lalli, Laura Tedeschini (2018-07-07), "Imperial Porphiry and Golden Leaf: Sierpinski Triangle in a Medieval Roman Cloister" , Advances in Intelligent Systems and Computing , Springer International Publishing, págs. 595–609, doi : 10.1007 / 978 -3-319-95588-9_49 , ISBN 9783319955872
- ^ "Junta de Sierpinski por eliminación de Trema"
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enlaces externos
- "Junta de Sierpinski" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
- Weisstein, Eric W. "Sierpinski Sieve" . MathWorld .
- Rothemund, Paul WK; Papadakis, Nick; Winfree, Erik (2004). "Autoensamblaje algorítmico de triángulos de Sierpinski de ADN" . PLOS Biología . 2 (12): e424. doi : 10.1371 / journal.pbio.0020424 . PMC 534809 . PMID 15583715 .
- Junta Sierpinski de Trema Removal al cortar el nudo
- Junta de Sierpinski y torre de Hanoi en cut-the-knot
- Triángulo de Sierpinski generado por GPU en tiempo real en 3D
- Triángulos pitagóricos , Waclaw Sierpinski, Courier Corporation, 2003
- A067771 Número de vértices en el triángulo de Sierpiński de orden n. en OEIS