En matemáticas , el teorema de aproximación simplicial es un resultado fundamental para la topología algebraica , lo que garantiza que las asignaciones continuas pueden ser (mediante una ligera deformación) aproximadas por las que son por partes del tipo más simple. Se aplica a las asignaciones entre espacios que se construyen a partir de simples , es decir, complejos finitos simpliciales . El mapeo continuo general entre tales espacios se puede representar aproximadamente por el tipo de mapeo que es ( afín -) lineal en cada simplex en otro simplex, a costa (i) de una subdivisión baricéntrica suficientede los simples del dominio, y (ii) reemplazo del mapeo real por uno homotópico .
Este teorema fue probado por primera vez por LEJ Brouwer , mediante el uso del teorema de cobertura de Lebesgue (un resultado basado en la compacidad ). Sirvió para poner la teoría de la homología de la época, la primera década del siglo XX, sobre una base rigurosa, ya que mostraba que el efecto topológico (sobre los grupos de homología ) de los mapeos continuos podía expresarse en un caso dado de forma finitaria. . Esto debe verse en el contexto de una comprensión en ese momento de que la continuidad era en general compatible con lo patológico , en algunas otras áreas. Esto inició, podría decirse, la era de la topología combinatoria .
Hay otro teorema de aproximación simplicial para homotopías , que establece que una homotopía entre asignaciones continuas también puede aproximarse mediante una versión combinatoria.
Declaración formal del teorema
Dejar y ser dos complejos simpliciales . Un mapeo simplicial se llama aproximación simple de una función continua si por cada punto , pertenece al simplex cerrado mínimo de conteniendo el punto . Si es una aproximación simple a un mapa continuo , luego la realización geométrica de , es necesariamente homotópico a .
El teorema de aproximación simplicial establece que dado cualquier mapa continuo existe un número natural tal que para todos existe una aproximación simplicial a (dónde denota la subdivisión baricéntrica de, y denota el resultado de aplicar subdivisión baricéntrica veces.)
Referencias
- "Simplicial complex" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]