Cambio de sitios

Notación utilizada para describir patrones de malabarismo

"Juggling beat" vuelve a dirigir aquí. Para música, vea malabares de ritmos .

Los ritmos de intercambio de sitios se muestran como altura relativa ^{[1] [2]}

Intercambio de sitios , también llamado malabarismo cuántico o notación de Cambridge , es una notación de malabarismo numérica que se utiliza para describir o representar patrones de malabarismo . El término también puede usarse para describir patrones de intercambio de sitios , posibles patrones transcritos mediante intercambio de sitios. Los lanzamientos están representados por enteros positivos que especifican el número de latidos en el futuro cuando el objeto se lanza nuevamente: "La idea detrás de siteswap es hacer un seguimiento del orden en que se lanzan y atrapan las bolas, y solo eso". ^[3]Es una herramienta invaluable para determinar qué combinaciones de lanzamientos producen patrones de malabarismo válidos para un número determinado de objetos y ha dado lugar a patrones previamente desconocidos (como 441). Sin embargo, no describe movimientos corporales como detrás de la espalda y debajo de la pierna. Siteswap asume que "los lanzamientos ocurren en ritmos que están igualmente espaciados en el tiempo". ^[4]

Por ejemplo, una cascada de tres bolas se puede anotar con "3", mientras que una ducha se puede anotar con "5 1". ^[4]

Origen

La notación fue inventada por Paul Klimek en Santa Cruz, California en 1981, y luego desarrollada por los estudiantes universitarios Bruce "Boppo" Tiemann y el difunto Bengt Magnusson en el Instituto de Tecnología de California en 1985, y por Mike Day, el matemático Colin Wright y matemático. Adam Chalcraft en Cambridge, Inglaterra en 1985 (de donde viene un nombre alternativo). ^{[5] [a]} Los números se derivan del número de pelotas utilizadas en los patrones de malabarismo más comunes. Siteswap ha sido descrito como "quizás el nombre más popular". ^[7]

El nombre siteswap proviene de la capacidad de generar patrones por los tiempos de aterrizaje de los "sitios" 2 en un siteswap utilizando el "intercambio" de propiedad de intercambio . ^[8] Por ejemplo, intercambiar los tiempos de aterrizaje de los lanzamientos "5" y "1" en el intercambio de sitios "51" genera el intercambio de sitios "24".

Vainilla

Su forma más simple, a veces llamada cambios de sitios de vainilla, describe solo patrones cuyos lanzamientos alternan manos y en los que se lanza una pelota de cada mano a la vez. Si uno estuviera haciendo malabarismos mientras camina hacia adelante, algo como el diagrama adyacente se vería desde arriba, a veces llamado diagrama de espacio-tiempo o diagrama de escalera . En este diagrama, se hacen malabarismos con tres bolas. El tiempo avanza de arriba hacia abajo.

Este patrón se puede describir indicando cuántos lanzamientos después se atrapa cada bola. Por ejemplo, en el primer lanzamiento en el diagrama, la bola violeta es lanzada al aire (hacia arriba fuera de la pantalla, hacia la parte inferior izquierda) con la mano derecha, luego la bola azul, la bola verde, la bola verde nuevamente, y la bola azul de nuevo y finalmente la bola violeta es atrapada y lanzada por la mano izquierda en el quinto lanzamiento, esto le da al primer lanzamiento una cuenta de 5 . Esto produce una secuencia de números que denota la altura de cada lanzamiento a realizar. Dado que las manos se alternan, los lanzamientos impares envían el balón a la otra mano, mientras que los lanzamientos pares envían el balón a la misma mano. A 3representa un lanzamiento a la mano opuesta a la altura de la cascada básica de tres ; un 4 representa un lanzamiento a la misma mano a la altura de las cuatro fuentes , y así sucesivamente.

Nombres de lanzamiento de intercambio de sitios

Lanzar nombre	El objeto Beats está en el aire	Cambia de manos	Descripción
0	-	-	Mano vacía
1	1	sí	Tirar de una mano a la otra
2	0	No	Retención momentánea
3	3	sí	Lanzamiento desde una cascada de 3 bolas
4	4	No	Lanzar desde una fuente de 4 bolas
5	5	sí	Lanzar desde una cascada de 5 bolas
6	6	No	Lanzar desde una fuente de 6 bolas
7	7	sí	Lanzar desde una cascada de 7 bolas
8	8	No	Lanzar desde una fuente de 8 bolas
9	9	sí	Lanzar desde una cascada de 9 bolas
a	10	No	Lanzar desde una fuente de 10 bolas
B	11	sí	Lanzar desde una cascada de 11 bolas
...	...	...	...

Hay tres tiros especiales: un 0 es una pausa con una mano vacía, un 1 es un pase rápido directo a la otra mano y un 2 es un agarre momentáneo de un objeto. Los lanzamientos de más de 9 tiempos reciben letras que comienzan con a . El número de golpes que tiene una pelota en el aire generalmente corresponde a qué tan alto fue lanzado, por lo que muchas personas se refieren a los números como alturas, pero esto no es técnicamente correcto; todo lo que importa es el número de latidos en el aire, no qué tan alto se lanza. Por ejemplo, botar una pelota lleva más tiempo que un lanzamiento en el aire a la misma altura, por lo que puede ser un valor de intercambio de sitios más alto mientras que es un lanzamiento más bajo.

Cada patrón se repite después de un cierto número de lanzamientos, llamado período del patrón. El período es el número de dígitos en la representación no repetitiva más corta de un patrón. Por ejemplo, el patrón diagramado a la derecha es 53145305520 que tiene 11 dígitos y por lo tanto tiene un período de 11. Si el período es un número impar, como este, entonces cada vez que se repite la secuencia, la secuencia comienza con la otra mano. , y el patrón es simétrico porque cada mano hace lo mismo (aunque en momentos diferentes). Si el punto es un número par, en cada repetición del patrón, cada mano hace lo mismo que hizo la última vez y el patrón es asimétrico .

El número de bolas utilizadas para el patrón es el promedio de los números de lanzamiento en el patrón. ^[2] Por ejemplo, 441 es un patrón de tres objetos porque (4 + 4 + 1) / 3 es 3 y 86 es un patrón de siete objetos. Por lo tanto, todos los patrones deben tener una secuencia de intercambio de sitios que promedie un número entero . No todas estas secuencias describen patrones; por ejemplo 543 con promedio entero 4 pero sus tres tiros aterrizan todos al mismo tiempo, chocando.

Algunos mantienen una convención en la que un intercambio de sitios se escribe primero con los números más altos. Un inconveniente de hacerlo es evidente en el patrón 51414 , un patrón de 3 bolas que no se puede insertar en el medio de una cadena de 3 tiros, a diferencia de su rotación 45141 que sí puede.

Sincrónico

Diagrama de escalera para caja: (4,2x) (2x, 4)

La notación de intercambio de sitios se puede ampliar para indicar patrones que contienen lanzamientos sincrónicos de ambas manos. Los números de los dos lanzamientos se combinan entre paréntesis y separados por una coma. Dado que los lanzamientos síncronos solo se realizan en tiempos pares, solo se permiten números pares. ^{[9] Los} tiros que se mueven a la otra mano están marcados con una x después del número. Por lo tanto, una ducha sincrónica de tres apoyos se denota (4x, 2x), lo que significa que una mano lanza continuamente un tiro bajo o 'zip' a la mano opuesta, mientras que la otra continuamente hace un tiro más alto a la primera. Las secuencias de pares entre corchetes se escriben sin marcadores delimitadores. Los patrones que se repiten en una imagen especular en el lado opuesto se pueden abreviar con un *. Por ejemplo, en lugar de (4,2x) (2x, 4) ( patrón de caja de 3 bolas ), se puede abreviar como (4,2x) * .

Multiplexación

Cascada de 3 bolas con triplex: [333] 33

Una extensión adicional permite que siteswap anote patrones que involucren múltiples lanzamientos de una o ambas manos al mismo tiempo en un patrón multiplex . Los números para múltiples lanzamientos de una sola mano se escriben juntos dentro de corchetes. Por ejemplo, [33] 33 es una cascada normal de 3 bolas, con un par de bolas siempre lanzadas juntas.

Pasando

Cuatro cuentas , o "Todos los demás": <333P | 333P>

Malabarismo simultáneo: la notación <xxx | yyy> significa que un malabarista hace 'xxx' mientras que otro hace 'yyy'. 'p' se usa para representar un pase de pase. Por ejemplo, <3p 3 | 3p 3> es un patrón de pase de 6 apoyos '2 conteos', donde todos los lanzamientos con la mano izquierda son pases y los lanzamientos con la mano derecha son a uno mismo. Esto también se puede utilizar con patrones sincrónicos; una 'ducha' para dos personas es entonces <(4xp, 2x) | (4xp, 2x)>

Notación fraccional

Si el patrón contiene fracciones, p. Ej. <4,5 3 3 | 3 4 3.5> el malabarista después de la barra se supone que es media cuenta más tarde, y todas las fracciones son pasadas.

intercambio de sitios sociales

Si ambos hacen malabares con el mismo patrón (aunque cambiado en el tiempo), el patrón se llama intercambio de sitios sociales y solo la mitad del patrón debe escribirse: <4p 3 | 3 4p> se convierte en 4p 3 y <4.5 3 3 | 3 4.5 3> se convierte en 4.5 3 3 . (tenga en cuenta que en el último caso, 4.5 serán pases rectos de un malabarista, pases cruzados (es decir, de izquierda a izquierda o de derecha a derecha) del otro malabarista. También se pueden crear cambios de sitios sociales para más de 2 malabaristas (por ejemplo, 4p 3 3 o 3.7 3 para 3 malabaristas, donde 3.7 significa 3.66666 .... o 3 2 ⁄ 3 )

Tenga en cuenta que algunos malabaristas usan fracciones para notar patrones de múltiples manos.

Varias manos

La notación de múltiples manos fue desarrollada por Ed Carstens en 1992 para su uso con su programa de malabarismo JugglePro. ^[6] La notación de intercambio de sitios en su forma más simple ("Vanilla intercambio de sitios") asume que solo se lanza una bola a la vez. De ello se deduce que cualquier intercambio de sitios válido para dos manos también será válido para cualquier número de manos, con la condición de que las manos se lancen una tras otra. Transposicionales de manos múltiples comúnmente utilizados son 1-handed siteswap (diábolo) , y 4-entregado siteswap (pasando) .

1 mano (diábolo)

El intercambio de sitios se realiza con una sola mano, o un jugador diábolo lanzando diabolos a diferentes alturas.

4 manos

Los intercambios de sitios válidos pueden ser realizados por un malabarista de 4 manos, o por 2 malabaristas que coordinen 4 manos, con la condición de que las manos lancen alternativamente.

En la práctica, esto se obtiene más fácilmente si los malabaristas lanzan por turnos, siendo una secuencia (mano derecha del malabarista A, mano derecha del malabarista B, mano izquierda de A, mano izquierda de B).

notación confusa

Algunos malabaristas, cuando notan el intercambio de sitios a 4 manos, dividen los valores de intercambio de sitios por el número de malabaristas. Esto conduce a una notación fraccionaria similar a la notación de los intercambios de sitios sociales, pero el orden de la notación puede ser diferente.

Diagramas de estado

Diagrama de estado para 3 bolas con un tiro máximo de '5'

Justo después de lanzar una pelota (o un palo u otro objeto de malabarismo), todas las bolas están en el aire y bajo la influencia de la gravedad. Suponiendo que las bolas se atrapen a un nivel constante, entonces el momento en que aterrizan las bolas ya está determinado. Podemos marcar cada punto en el tiempo en el que una bola va a aterrizar con una x , y cada punto en el tiempo en el que todavía no hay una bola programada para aterrizar con un - . Esto describe el estado actual y determina qué bola numérica se puede lanzar a continuación. Por ejemplo, podemos observar el estado justo después de nuestro primer lanzamiento en el diagrama, es xx - x. Podemos usar el estado para determinar qué se puede lanzar a continuación. Primero tomamos la xdel lado izquierdo (esa es la pelota que aterrizará a continuación) y mueva todo lo demás hacia la izquierda llenando un - a la derecha. Esto nos deja con x - x-. Como atrapamos una pelota (la x que quitamos de la izquierda) no podemos "lanzar" un 0 a continuación. Tampoco podemos lanzar un 1 o un 4, porque ya hay pelotas programadas para aterrizar allí. Entonces, asumiendo que lo más alto que podemos lanzar con precisión una pelota es a una altura de 5, entonces solo podemos lanzar un 2, 3 o un 5. En este diagrama, el malabarista lanzó un 3, por lo que una x va en el tercer lugar , reemplazando el -, y tenemos x-xx- como el nuevo estado.

El diagrama que se muestra ilustra todos los estados posibles para alguien que hace malabarismos con tres elementos y una altura máxima de 5. Desde cada estado se pueden seguir las flechas y los números correspondientes producen el intercambio de sitios. Cualquier ruta que produzca un ciclo genera un intercambio de sitios válido, y todos los intercambios de sitios se pueden generar de esta manera. El diagrama se agranda rápidamente cuando se introducen más bolas o lanzamientos más altos, ya que hay más estados posibles y más lanzamientos posibles.

Otro método para representar los estados de intercambio de sitios es representar una bola con un 1 en lugar de una x, y representar un punto donde no hay ninguna bola programada para aterrizar con un 0 en lugar de un -. Entonces, el estado se puede representar con un número binario, como el binario 10011. Este formato permite representar estados multiplex, es decir, el número 2 representa que 2 bolas caen en ese latido.

Lanzar Expresar	0	1	2	3	4	5
111				111	1101	11001
0111	111
1011		111			0111	01101
1101			111		1011	10101
00111	0111
01011	1011
01101	1101
10011		1011	0111			00111
10101		1101		0111		01011
11001			1101	1011		10011

Un diagrama de estado de intercambio de sitios también se puede representar como una tabla de transición de estado , como se muestra a la derecha. Para generar un intercambio de sitios, elija una fila de estado inicial. Indexe en la fila a través de la columna de lanzamiento correspondiente. La entrada de estado en la intersección es la transición al estado cuando se realiza ese lanzamiento. Desde el nuevo estado, se puede indexar nuevamente en la tabla. Este proceso se puede repetir para que cuando se alcance el estado original, se cree un intercambio de sitios válido.

Propiedades matemáticas

Validez

Diagrama de estado de Siteswap 531

No todas las secuencias de intercambio de sitios son válidas. ^[9] Todas las secuencias de intercambio de sitios de vainilla, síncronas y multiplex son válidas si sus transiciones de estado crean un ciclo en su gráfico de diagrama de estado. ^{[9] Las} secuencias que no crean un ciclo no son válidas. Por ejemplo, el patrón 531 se puede asignar a un diagrama de estado como se muestra a la derecha. Dado que las transiciones en esta secuencia crean un ciclo en el gráfico, este patrón es válido.

Existen otros métodos para determinar la validez de una secuencia en función del tipo de intercambio de sitios.

Una secuencia de intercambio de sitios de vainilla donde es el período del intercambio de sitios, es válida cuando la cardinalidad del conjunto (escrito en notación del constructor de conjuntos ) es igual al período donde${\displaystyle a_{0}a_{1}a_{2}...a_{n-1}}$${\displaystyle n}$${\displaystyle S}$${\displaystyle n}$

$${\displaystyle S=\{(a_{i}+i){\bmod {n}}|0\leq i\leq n-1\}}$$

Para saber si un patrón es válido, primero cree una nueva secuencia formada sumando al primer número, al segundo número, al tercer número y así sucesivamente. En segundo lugar, calcule el módulo (resto) de cada número con el período. Si ninguno de los números está duplicado en esta secuencia final, entonces el patrón es válido. ^[10]${\displaystyle 0}$${\displaystyle 1}$${\displaystyle 2}$

Por ejemplo, el patrón 531 produciría o . Dado que el patrón 531 tiene un período de 3, los resultados del ejemplo anterior producirían o . En este caso, 531 es válido ya que todos los números son únicos. Otro ejemplo, 513 es un patrón no válido porque el primer paso produce o , el segundo paso produce o , y la secuencia final contiene al menos un duplicado de un número, en este caso un 2. ${\displaystyle 5+0,3+1,1+2}$${\displaystyle 5,4,3}$${\displaystyle 5{\bmod {3}},4{\bmod {3}},3{\bmod {3}}}$${\displaystyle 2,1,0}$${\displaystyle 2,1,0}$${\displaystyle 5+0,1+1,3+2}$${\displaystyle 5,2,5}$${\displaystyle 5{\bmod {3}},2{\bmod {3}},5{\bmod {3}}}$${\displaystyle 2,2,2}$

Un intercambio de sitios síncrono es válido si

1. solo contiene números pares y
2. se puede convertir en un intercambio de sitios vainilla válido utilizando la propiedad slide .

de lo contrario, no es válido ^{[ cita requerida ]} .

Intercambiar propiedad

Se pueden generar nuevas secuencias de vainilla válidas intercambiando elementos adyacentes de otra secuencia de intercambio de sitios de vainilla válida, agregando 1 al número que se intercambia a la derecha y restando 1 del número que se intercambia a la izquierda. ^[10] La propiedad de intercambio convertirá la secuencia válida con un valor arbitrario , para generar la nueva secuencia válida . ${\textstyle a_{0}a_{1}a_{2}...a_{i}a_{i+1}...a_{n-1}}$${\displaystyle i}$${\displaystyle a_{0}a_{1}a_{2}...(a_{i+1}+1)(a_{i}-1)...a_{n-1}}$

Por ejemplo, la propiedad de intercambio realizada en los dos lanzamientos internos de la secuencia 4413 movería el 4 a la derecha restando 1 de él para convertirlo en 3 y movería el 1 a la izquierda agregando 1 para convertirse en 2. Esto produce el nuevo valor válido 4233.

Propiedad de diapositiva

Una secuencia síncrona válida se puede convertir en una secuencia asíncrona válida y viceversa utilizando la propiedad slide. Dada la secuencia sincrónica, se pueden formar nuevas secuencias vainilla: donde${\displaystyle (a_{0},a_{1})(a_{2},a_{3})...(a_{n-2},a_{n-1})}$${\textstyle b_{0}b_{1}...b_{n-1}}$

$${\displaystyle b_{i}={\begin{cases}a_{i}+1,&{\text{if }}i{\text{ is even and }}a_{i}{\text{ crosses hands}}\\a_{i}-1,&{\text{if }}i{\text{ is odd and }}a_{i}{\text{ crosses hands}}\\a_{i},&{\text{otherwise}}\end{cases}}}$$

y donde${\displaystyle c_{0}c_{1}...c_{n-1}}$

$${\displaystyle c_{i}={\begin{cases}a_{i+1}+1,&{\text{if }}i{\text{ is even and }}a_{i}{\text{ crosses hands}}\\a_{i-1}-1,&{\text{if }}i{\text{ is odd and }}a_{i}{\text{ crosses hands}}\\a_{i+1},&{\text{if }}i{\text{ is even and }}a_{i}{\text{ does not cross}}\\a_{i-1},&{\text{if }}i{\text{ is odd and }}a_{i}{\text{ does not cross}}\end{cases}}}$$

La propiedad de deslizamiento recibe su nombre al deslizar los tiempos de lanzamiento de una de las manos en una unidad de tiempo para que los lanzamientos se alineen de forma asincrónica. ^[9]

Por ejemplo, siteswap (8x, 4x) (4,4) crearía dos sitewaps asincrónicos (vainilla) utilizando la propiedad slide: 9344 y 5744.

Patrones principales

Los cambios de sitio pueden considerarse primarios o compuestos. ^[9] Un intercambio de sitios es primordial si la ruta creada en su diagrama de estado no atraviesa ningún estado más de una vez. Los cambios de sitio que no son primos se denominan compuestos.

Un método no riguroso pero más simple para determinar si un intercambio de sitios es primordial es intentar dividirlo en cualquier patrón válido más corto que use el mismo número de accesorios. ^[9] Por ejemplo, 44404413 se puede dividir en 4440, 441 y 3; por lo tanto, 44404413 es compuesto. Otro ejemplo, 441, que usa tres accesorios, es primo, ya que 1, 4, 41 y 44 no son tres patrones de accesorios válidos (como 1/3 ≠ 3, 4/3 ≠ 3, (4 + 1) / 3 ≠ 3 y (4 + 4) / 3 ≠ 3). A veces, este proceso no funciona; por ejemplo, 153 (más conocido por su rotación 531) parece que se puede dividir en 15 y 3, pero comprobar que el ciclo no tiene nodos repetidos en el recorrido del gráfico indica que es primo según la definición más rigurosa.

Se ha demostrado empíricamente que los desplazamientos de sitios principales más largos delimitados por la altura contienen principalmente los lanzamientos y . ^[11] Los patrones primos más largos con altura 22 (con 3 bolas como máximo), para 9 bolas (con 13 de altura máxima) y para alturas y conteos de bolas en el medio, fueron enumerados por Jack Boyce en febrero de 1999 usando un programa llamado jdeep. ^[12] La lista completa de los desplazamientos de sitios principales más largos generados por jdeep (con los lanzamientos '0' representados por un '-' y los lanzamientos de altura máxima representados por un '+') se puede encontrar aquí .${\displaystyle h}$${\displaystyle 0}$${\displaystyle h}$

Conexiones matemáticas

Conexiones con el álgebra abstracta

Los patrones vainilla de intercambio de sitios pueden verse como ciertos elementos del grupo simétrico afín (el grupo de tipo Weyl afín ). ^[13] Una presentación de este grupo es como el conjunto de funciones biyectivas f en los enteros de tal manera que, para un n fijo : f ( i + n ) = f ( i ) + n para todos los enteros i . Si el elemento f satisface la condición adicional de que f ( i ) ≥ i para todo i , entonces${\displaystyle {\tilde {A}}_{n}}$f corresponde al patrón de intercambio de sitios (repetido infinitamente) cuyo número i- ésimo es f ( i ) - i : es decir, la pelota lanzada en el momento i aterrizará en el momento f ( i ).

Conexiones a la topología

Un subconjunto de estos patrones de intercambio de sitios etiquetan naturalmente estratos en la estratificación de positroides del Grassmanniano . ^[14]

Lista de símbolos

• Número: duración relativa (altura) de un lanzamiento. 1, 2, 3 ...
• Corchetes []: Multiplex. [333] 33.
• Chevrones y barra vertical <|>: Patrones simultáneos y de paso.
  • P: Pasa. <333P | 333P>
  • Fracción: Pasa 1 / y latidos más tarde. <4,5 3 3 | 3 4 3,5>
• Paréntesis (): patrón sincrónico.
  • *: Patrón sincrónico que cambia de lado. (4,2x) (2x, 4) = (4,2x) *
  • x: Lanzar hacia la otra mano durante un patrón sincrónico.

Programas

Hay muchos programas de computadora gratuitos disponibles que simulan patrones de malabarismo.

• Juggling Lab animator : un animador de código abierto que fue escrito en Java e interpreta casi toda la sintaxis de intercambio de sitios.
• Jongl : animador 3D capaz de mostrar patrones de varias manos (pases).
• JoePass! funciona en Windows, Macintosh y Wine (para Linux)
• Gunswap : una biblioteca de patrones y animador de malabarismo 3D de código abierto y basada en la web.

También hay algunos juegos para jugar con siteswap:

• Juego de cambio de sitios desarrollado por Sebi Haushofer (para Java)

Ver también

• Lista de intercambios de sitios

Notas

1. • "Inventado de forma independiente alrededor de 1985 por Paul Klimek de la Universidad de California en Santa Cruz, Bruce Tiemann del Instituto de Tecnología de California y Michael Day de la Universidad de Cambridge". ^[4]
   • "Inventado alrededor de 1985 por tres personas de forma independiente: Bruce" Boppo "Tiemann en Caltech, Paul Klimek en Santa Cruz y Mike Day en Cambridge". ^[3]
   • "... Bruce Tiemann (Boppo) y el difunto Bengt Magnusson ... Otros contribuyentes al desarrollo de la teoría del intercambio de sitios incluyen a Jack Boyce, Allen Knutson, Ed Carstens y malabaristas en la red informática". ^[6]
   • "Jack Boyce (también en Caltech) ideó el modelo de estado de malabarismo para explicar el fenómeno de los trucos de estado excitado". ^[3]
   • "Para dar crédito donde se debe, la notación tal como se presenta aquí fue inventada de forma independiente (y previamente) por Paul Klimek, con quien hemos tenido discusiones útiles". ^[2]

Referencias

1. Donahue, Bill (3 de diciembre de 2004). "Las Matemáticas del ... Malabarismo" . Revista Discover . Consultado el 30 de junio de 2017 .
2. Tiemann, Bruce y Magnusson, Bengt (1991). " Una notación para trucos de malabares , MUCHOS trucos de malabares ", Juggle.org . Consultado el 8 de julio de 2014. URL original
3. Knutson, Allen. "Preguntas frecuentes de Siteswap" . Juggling.org . Consultado el 30 de junio de 2017 .
4. Beek, Peter J .; Lewbel, Arthur (noviembre de 1995). "Las matemáticas del malabarismo" (PDF) . La ciencia del malabarismo . Scientific American . 273 . págs. 92–97. Código Bibliográfico : 1995SciAm.273e..92B . doi : 10.1038 / scientificamerican1195-92 . ISSN 0036-8733 . Archivado desde el original (PDF) el 4 de marzo de 2016.   También disponible en Juggling.org .
5. Hayes, David F .; Shubin, Tatiana (2004). Aventuras matemáticas para estudiantes y aficionados . Asociación Matemática de América. pag. 99. ISBN 0883855488. OCLC  56020214 .
6. Lewbel, Arthur (1996). " El malabarista académico: la invención de las notaciones de malabarismo Archivado el 14 de julio de 2014 en la Wayback Machine ", Juggle.org .
7. Sethares, William Arthur (2007). Ritmo y transformaciones . Springer . pag. 40 . ISBN 9781846286407. OCLC  261225487 .
8. Boyce, Jack (11 de octubre de 1997). "Taller de Patrones de Lodi 1997" . sonic.net . Archivado desde el original el 7 de diciembre de 2004 . Consultado el 8 de julio de 2020 .
9. Beever, Ben (2001). " Guía de Siteswap Ben para hacer malabares con los patrones ", p.6, JugglingEdge.com . BenBeever.com en Wayback Machine (archivado el 10 de agosto de 2015).
10. Polster, Burkard. "Las matemáticas del malabarismo" (PDF) . qedcat.com . Consultado el 22 de abril de 2020 .
11. Boyce, Jack. "Los patrones de intercambio de sitios Prime más largos" (PDF) . jonglage.net . Consultado el 27 de abril de 2020 .
12. Boyce, Jack (17 de febrero de 1999). "jdeep.c" . sonic.net . Archivado desde el original el 7 de diciembre de 2004 . Consultado el 27 de abril de 2020 .
13. Ehrenborg, Richard; Readdy, Margaret (1 de octubre de 1996). "Malabarismos y aplicaciones a q-análogos" . Matemáticas discretas . 157 (1): 107-125. doi : 10.1016 / S0012-365X (96) 83010-X . ISSN 0012-365X . 
14. Knutson, Allen; Lam, Thomas; Speyer, David (15 de noviembre de 2011). "Variedades Positroides: Malabarismo y Geometría". arXiv : 1111.3660 [ math.AG ].

Lectura adicional

• Polster, Burkard (2003). Las matemáticas del malabarismo . Nueva York: Springer. ISBN 0-387-95513-5. Consultado el 23 de agosto de 2012 .

Enlaces externos

• " Patrones de paso simétricos ", PassingDB.com .
• DSSS: Simulador de intercambio de sitios de Diabolo , ArtofDiabolo.com .
• Juggling Lab (animador descargable)
• Malabares de intercambio de armas (animador en línea)
• Calculadora de intercambio de sitios TWJC ( validador de intercambio de sitios sincrónico , multiplex y útil)
• " Patrones de pases simétricos escalonados para 2 malabaristas " de Sean Gandini (redes sociales)
• Smith, HJ "Juggler Numbers" en Wayback Machine (archivado el 6 de agosto de 2003)
• Wright, Colin. "Malabares por números" (video) . YouTube . Brady Haran . Consultado el 4 de octubre de 2017 .