De acuerdo con las teorías clásicas de estructuras elásticas o plásticas hechas de un material con resistencia no aleatoria ( f t ), la resistencia nominal ( σ N ) de una estructura es independiente del tamaño de la estructura ( D ) cuando se consideran estructuras geométricamente similares. [1] Cualquier desviación de esta propiedad se denomina efecto de tamaño . Por ejemplo, la resistencia convencional de los materiales predice que una viga grande y una viga pequeña fallarán con la misma tensión. si están hechos del mismo material. En el mundo real, debido a los efectos del tamaño, una viga más grande fallará con un esfuerzo menor que una viga más pequeña.
El efecto de tamaño estructural se refiere a estructuras hechas del mismo material, con la misma microestructura . Debe distinguirse del efecto de tamaño de las inhomogeneidades del material, en particular el efecto Hall-Petch , que describe cómo aumenta la resistencia del material al disminuir el tamaño de grano en los metales policristalinos .
El efecto de tamaño puede tener dos causas:
- estadístico, debido a la aleatoriedad de la resistencia del material, la probabilidad de que ocurra una falla crítica en una ubicación de alto estrés y el aumento del volumen, lo que aumenta la probabilidad de una falla grave.
- energético (y no estadístico), debido a la liberación de energía cuando se desarrolla una gran grieta o una gran zona de proceso de fractura (FPZ) que contiene material dañado antes de que se alcance la carga máxima.
Teoría estadística del efecto del tamaño en estructuras frágiles
El efecto de tamaño estadístico se produce para una amplia clase de estructuras frágiles que siguen el modelo de eslabón más débil. Este modelo significa que la iniciación de la macrofractura de un elemento material, o más precisamente un elemento de volumen representativo (RVE), hace que toda la estructura falle, como la falla de un eslabón de una cadena (Fig. 1a). Dado que la resistencia del material es aleatoria, es probable que la resistencia del elemento material más débil de la estructura (Fig. 1a) disminuya al aumentar el tamaño de la estructura. (como ya lo señaló Mariotte en 1684).
Denotando las probabilidades de falla de la estructura como y de un RVE bajo estrés como , y observando que la probabilidad de supervivencia de una cadena es la probabilidad conjunta de supervivencia de todos sus enlaces, uno fácilmente concluye que
( 1 )
La clave es la cola izquierda de la distribución de . No se identificó con éxito hasta que Weibull en 1939 reconoció que la cola es una ley de potencia. Denotando el exponente de la cola como, entonces se puede mostrar que, si la estructura es suficientemente mayor que un RVE (es decir, si N / l 0 → ∞ ), la probabilidad de falla de una estructura en función de es
( 2 )
Eq. 2 es la distribución de Weibull acumulativa con parámetro de escala y parámetro de forma ; = factor constante en función de la geometría de la estructura, = volumen de la estructura; = vectores de coordenadas relativos (independientes del tamaño), = campo de tensión adimensional (dependiente de la geometría), escalado para que la tensión máxima sea 1; = número de dimensiones espaciales ( = 1, 2 o 3); = longitud característica del material que representa el tamaño efectivo del RVE (típicamente alrededor de 3 tamaños de falta de homogeneidad).
El RVE se define aquí como el volumen de material más pequeño cuya falla es suficiente para hacer fallar toda la estructura. Según la experiencia, la estructura es suficientemente mayor que un RVE si el número equivalente de RVE en la estructura es mayor que aproximadamente ; = número de RVE que dan el mismo si el campo de tensiones es homogéneo (siempre , y por lo general ). Para la mayoría de las aplicaciones de escala normal a metales y cerámicas de grano fino, excepto para dispositivos de escala micrométrica, el tamaño es lo suficientemente grande para que se aplique la teoría de Weibull (pero no para materiales de grano grueso como el hormigón).
De la ecuación. 2 se puede demostrar que la resistencia media y el coeficiente de variación de la resistencia se obtienen de la siguiente manera:
( 3 )
( 4 )
(dónde es la función gamma) La primera ecuación muestra que el efecto de tamaño sobre la fuerza nominal media es una función de potencia del tamaño , independientemente de la geometría de la estructura.
Parámetro de Weibull pueden identificarse experimentalmente por dos métodos: 1) Los valores de medidos en muchas muestras idénticas se utilizan para calcular el coeficiente de variación de la resistencia, y el valor de luego sigue resolviendo la ecuación. (4); o 2) los valores de se miden en muestras geométricamente similares de varios tamaños diferentes y la pendiente de su regresión lineal en la gráfica de versus da . El método 1 debe dar el mismo resultado para diferentes tamaños y el método 2 el mismo que el método 1. Si no, el efecto de tamaño es parcial o totalmente no weibulliano. La omisión de pruebas para diferentes tamaños a menudo ha llevado a conclusiones incorrectas. Otra comprobación es que el histograma de las resistencias de muchas muestras idénticas debe ser una línea recta cuando se traza en la escala de Weibull. Una desviación hacia la derecha en el rango de alta resistencia significa que es demasiado pequeño y el material casi frágil.
Efecto de tamaño energético
El hecho de que el efecto de tamaño de Weibull sea una ley de potencia significa que es auto-similar, es decir, no tiene un tamaño de estructura característico existe, y y las inhomogeneidades del material son insignificantes en comparación con . Este es el caso de los metales quebradizos por fatiga o las cerámicas de grano fino, excepto en la escala micrométrica. La existencia de un finitoes una característica sobresaliente del efecto de tamaño energético, descubierto en 1984. Este tipo de efecto de tamaño representa una transición entre dos leyes de potencia y se observa en materiales heterogéneos frágiles, denominados cuasibrittle. Estos materiales incluyen hormigón, compuestos de fibra, rocas, cerámica endurecida y de grano grueso, espumas rígidas, hielo marino, cerámica dental, dentina, hueso, conchas biológicas, muchos materiales bioinspirados y bioinspirados, mampostería, mortero, suelos rígidos cohesivos, suelos con lechada, nieve consolidada, madera, papel, cartón, carbón, arenas cementadas, etc. En la micro o nano escala, todos los materiales quebradizos se vuelven casi frágiles y, por lo tanto, deben exhibir el efecto de tamaño energético.
Se produce un efecto energético pronunciado en las fallas de corte, torsión y punzonamiento del hormigón armado, en la extracción de anclajes del hormigón, en la falla por compresión de columnas delgadas de hormigón armado y vigas de hormigón pretensado, en las fallas por compresión y tracción de compuestos de fibra-polímero y estructuras sándwich , y en las fallas de todos los materiales cuasi frágiles antes mencionados. Se pueden distinguir dos tipos básicos de este efecto de tamaño.
Tipo 1: Estructuras que fallan al inicio de la grieta
Cuando la macrogrieta se inicia a partir de un RVE cuyo tamaño no es despreciable en comparación con el tamaño de la estructura, el efecto de tamaño determinista domina sobre el efecto de tamaño estadístico. Lo que causa el efecto de tamaño es una redistribución de la tensión en la estructura (Fig. 2c) debido al daño en el RVE de inicio, que normalmente se encuentra en la superficie de la fractura.
Se puede dar una justificación intuitiva simple de este efecto de tamaño considerando la falla por flexión de una viga simplemente apoyada sin muescas bajo una carga concentrada en midspan (Fig. 2d). Debido a la heterogeneidad del material, lo que decide la carga máxima no es la tensión calculada elásticamente en la cara de tracción, donde = momento flector, = profundidad del haz, y = ancho de haz. Más bien, lo que decide es el valor del estrés. aproximadamente a distancia desde la cara de tracción, que está en el medio de FPZ (2c). Señalando que = , dónde = gradiente de tensión = y = resistencia intrínseca a la tracción del material, y considerando la condición de falla = , uno obtiene = dónde , que es una constante porque para vigas geométricamente similares = constante. Esta expresión es válida solo para lo suficientemente pequeño, y así (de acuerdo con los dos primeros términos de la expansión binomial) uno puede aproximarlo como
( 5 )
que es la ley del efecto de tamaño determinista de Tipo 1 (Fig. 2a). El propósito de la aproximación realizada es: (a) prevenir de volverse negativo para muy pequeños , para lo cual no se aplica el argumento anterior; y (b) para satisfacer la condición asintótica de que el efecto de tamaño determinista debe desaparecer para. Aquí= constante empírica positiva; Los valores = o 2 se han utilizado para hormigón, mientras que es óptimo de acuerdo con los datos de prueba existentes de la literatura (Fig. 2d).
Una derivación fundamental de la ecuación. 5 para una geometría estructural general se ha dado aplicando análisis dimensional y adaptación asintótica al caso límite de liberación de energía cuando la longitud inicial de la macrogrieta tiende a cero. Para estructuras generales, el siguiente tamaño efectivo puede sustituirse en la ecuación. (5):
( 6 )
dónde = gradiente de deformación en el punto de deformación máxima ubicado en la superficie, en la dirección normal a la superficie.
Eq. 5 no puede solicitar tamaños grandes porque se acerca auna asíntota horizontal. Para tamaños grandes,debe aproximarse al efecto de tamaño estadístico de Weibull, Eq. 3. Esta condición es satisfecha por la ley generalizada del efecto de tamaño energético-estadístico:
( 7 )
dónde son constantes empíricas). La fórmula determinista (5) se recupera como caso límite para. (Fig.2d) muestra una comparación de la última fórmula con los resultados de la prueba para muchos hormigones diferentes, representados como resistencia adimensional versus tamaño de estructura adimensional .
La teoría probabilística del efecto de tamaño de Tipo 1 puede derivarse de la nanomecánica de fracturas. La teoría de la tasa de transición de Kramer muestra que, en la nanoescala, la cola del extremo izquierdo de la distribución de probabilidad de la fuerza de la nanoescala es una ley de potencia del tipo . El análisis de la transición multiescala a la macroescala de material muestra que la distribución de la fuerza RVE es gaussiana pero con una cola izquierda de Weibull (o ley de potencia) cuyo exponente es mucho mayor que 2 y se injerta aproximadamente con una probabilidad de aproximadamente 0,001.
Para estructuras con , que son comunes para materiales cuasi frágiles, la teoría de Weibull no se aplica. Pero el modelo de eslabón más débil subyacente, expresado por la ecuación. (1) para, lo hace, aunque con un finito , que es un punto crucial. La finitud del modelo de cadena de eslabones más débiles provoca grandes desviaciones de la distribución de Weibull. Como el tamaño de la estructura, medido por, aumenta, el punto de injerto de la parte izquierda de Weibullian se mueve hacia la derecha hasta que, aproximadamente , toda la distribución se vuelve weibulliana. La fuerza media se puede calcular a partir de esta distribución y, como resulta, su gráfica es idéntica a la gráfica de la Ec. 5 visto en la Fig. 2g. El punto de desviación de la asíntota de Weibull está determinado por la ubicación del punto de injerto en la distribución de fuerza de un RVE (Fig. 2g). Tenga en cuenta que la finitud de la cadena en el modelo de eslabón más débil captura la parte determinista del efecto de tamaño.
Esta teoría también se ha extendido al efecto de tamaño sobre las leyes de Evans y Paris sobre el crecimiento de grietas en materiales cuasi frágiles, y al efecto de tamaño sobre las duraciones estática y de fatiga. Parecía que el efecto de tamaño en la vida útil es mucho más fuerte que en la fuerza a corto plazo (exponente de cola es un orden de magnitud menor).
Tipo 2: Estructuras en las que existe una gran grieta o muesca.
El efecto de tamaño más fuerte posible ocurre para muestras con muescas profundas similares (Fig. 4b), o para estructuras en las que una gran grieta, similar para diferentes tamaños, se forma de manera estable antes de que se alcance la carga máxima. Debido a que la ubicación del inicio de la fractura está predeterminada para que ocurra en la punta de la grieta y, por lo tanto, no puede muestrear las resistencias aleatorias de diferentes RVE, la contribución estadística al efecto de tamaño medio es insignificante. Este comportamiento es típico del hormigón armado, los polímeros reforzados con fibras dañados y algunas estructuras comprimidas no reforzadas.
El efecto de tamaño energético puede explicarse intuitivamente considerando el panel de la figura 1c, d, inicialmente bajo una tensión uniforme igual a . Introducción de una grieta de longitud., con una zona de daño de ancho en la punta, alivia la tensión, y por lo tanto también la energía de deformación, de los triángulos sombreados sin daños de la pendiente en los flancos de la grieta. Entonces sí y son aproximadamente iguales para diferentes tamaños, la energía liberada de los triángulos sombreados es proporcional a , mientras que la energía disipada por el proceso de fractura es proporcional a ; aquí = energía de fractura del material, = densidad de energía antes de la fractura, y = Módulo elástico de Young. La discrepancia entre y muestra que puede existir un equilibrio entre la liberación de energía y la tasa de disipación para todos los tamaños sólo si disminuye al aumentar . Si la energía se disipó dentro de la zona de daño de ancho se agrega, se obtiene la ley de efecto de tamaño de Bažant (1984) (Tipo 2):
( 8 )
(Fig. 4c, d) donde = constantes, donde = resistencia a la tracción del material, y explica la geometría de la estructura.
Para geometrías más complejas, una derivación tan intuitiva no es posible. Sin embargo, el análisis dimensional junto con el emparejamiento asintótico mostró que Eq. 8 es aplicable en general, y que la dependencia de sus parámetros de la geometría de la estructura tiene aproximadamente la siguiente forma:
( 9 )
dónde la mitad de la longitud de FPZ, = longitud relativa inicial de la fisura (que es constante para escalas geométricamente similares); = función de liberación de energía adimensional de la mecánica de fractura elástica lineal (LEFM), que produce el efecto de la geometría de la estructura; , y = factor de intensidad del estrés. Ajuste Eq. 8 a Los datos de pruebas de muestras con muescas geométricamente similares de tamaños muy diferentes es una buena manera de identificar la y del material.
Efecto de tamaño en modelos de grieta cohesiva, banda de grieta y no locales
Las simulaciones numéricas de falla mediante códigos de elementos finitos pueden capturar el efecto de tamaño energético (o determinista) solo si la ley material que relaciona la tensión con la deformación posee una longitud característica. Este no fue el caso de los códigos clásicos de elementos finitos con un material caracterizado únicamente por relaciones tensión-deformación.
Un método computacional bastante simple es el modelo de fisuras cohesivo (o ficticio), en el que se supone que la tensión transmitida a través de una grieta parcialmente abierta es una función decreciente de la apertura de la grieta , es decir, . El área bajo esta función es, y
( 10 )
es la longitud característica del material que da lugar al efecto de tamaño determinista. Un método aún más simple es el modelo de banda de grieta, en el que la grieta cohesiva se reemplaza en las simulaciones por una banda de grieta de ancho. igual a un tamaño de elemento finito y una relación tensión-deformación que se ablanda en la dirección de la banda cruzada como dónde = deformación media en esa dirección.
Cuándo debe ajustarse, la relación de tensión de ablandamiento se ajusta para mantener la disipación de energía correcta . Un método más versátil es el modelo de daño no local en el que la tensión en un punto continuo es una función no de la deformación en ese punto, sino del promedio del campo de deformación dentro de una determinada vecindad de tamaño.centrado en ese punto. Otro método más es el modelo de daño por gradiente en el que la tensión depende no solo de la deformación en ese punto, sino también del gradiente de deformación. Todos estos métodos computacionales pueden garantizar la objetividad y la convergencia adecuada con respecto al refinamiento de la malla de elementos finitos.
Aspectos fractales del efecto de tamaño
Las propiedades fractales del material, incluido el aspecto fractal de la rugosidad de la superficie de la grieta y el aspecto fractal lacunar de la estructura de los poros, pueden tener un papel en el efecto de tamaño en el hormigón y pueden afectar la energía de fractura del material. Sin embargo, las propiedades fractales aún no se han documentado experimentalmente a una escala lo suficientemente amplia y el problema aún no se ha estudiado en profundidad comparable a los efectos de tamaño estadístico y energético. El principal obstáculo para la consideración práctica de una influencia fractal en el efecto de tamaño es que, si se calibra para una geometría de estructura, no está claro cómo inferir el efecto de tamaño para otra geometría. Los pros y los contras fueron discutidos, por ejemplo, por Carpinteri et al. (1994, 2001) y Bažant y Yavari (2005).
Importancia práctica
Tener en cuenta el efecto de tamaño es esencial para la predicción segura de la resistencia de grandes puentes de hormigón, contención nuclear, cubiertas de tejados, edificios altos, revestimientos de túneles, grandes partes de aviones, naves espaciales y naves fabricadas con compuestos de fibra-polímero, turbinas eólicas , grandes excavaciones geotécnicas, pendientes de tierra y rocas, hielo marino flotante que transporta cargas, plataformas petrolíferas sometidas a fuerzas de hielo, etc. Su diseño depende de las propiedades del material medidas en muestras de laboratorio mucho más pequeñas. Estas propiedades deben extrapolarse a tamaños mayores en uno o dos órdenes de magnitud. Incluso si se puede realizar una costosa prueba de falla a gran escala, por ejemplo una prueba de falla del timón de un avión muy grande, es financieramente prohibitivo repetirla mil veces para obtener la distribución estadística de la capacidad de carga. Dicha información estadística, subyacente a los factores de seguridad, solo se puede obtener mediante la extrapolación adecuada de las pruebas de laboratorio.
El efecto tamaño está ganando importancia a medida que se construyen estructuras cada vez más grandes, de formas cada vez más esbeltas. Los factores de seguridad, por supuesto, dan grandes márgenes de seguridad, tan grandes que incluso para las estructuras de ingeniería civil más grandes, el análisis determinista clásico basado en las propiedades medias del material normalmente produce cargas de falla menores que las cargas máximas de diseño. Por estas razones, durante mucho tiempo se ha ignorado el efecto del tamaño sobre la resistencia en las fallas por fragilidad de las estructuras de hormigón y los laminados estructurales. Entonces, sin embargo, la probabilidad de falla, que debe ser, y en realidad tiene tales valores para estructuras de tamaño normal, puede llegar a ser para estructuras muy grandes tan bajo como de por vida. Una probabilidad de falla tan alta es intolerable ya que aumenta significativamente los riesgos a los que las personas están inevitablemente expuestas. De hecho, la experiencia histórica muestra que las estructuras muy grandes han estado fallando con una frecuencia varios órdenes de magnitud más alta que las más pequeñas. La razón por la que no ha provocado protestas públicas es que las grandes estructuras son pocas. Pero para los lugareños, que deben usar las estructuras a diario, el riesgo no es aceptable.
Otra aplicación es la prueba de la energía de fractura y la longitud característica del material. Para materiales cuasi frágiles, medir el efecto de tamaño en las cargas máximas (y en el reblandecimiento de la muestra después de la carga máxima) es el enfoque más simple.
Conocer el efecto de tamaño también es importante en el sentido inverso: para dispositivos de escala micrométrica, si están diseñados total o parcialmente sobre la base de las propiedades del material medidas más convenientemente en la escala de 0,01 ma 0,1 m.
Ver también
Notas
- ^ La resistencia nominal de una estructura ( σ N ) tiene unidades de esfuerzo y está relacionada con la carga máxima ( P max ) que la estructura puede soportar. Para estructuras que pueden aproximarse como bidimensionales, σ N = P max / bD donde b es el espesor de la estructura bidimensional. Para estructuras tridimensionales, σ N = P max / D 2 . Se puede elegir cualquier dimensión de estructura para D, pero debe ser homóloga para todos los tamaños.
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enlaces externos
- Medios relacionados con el efecto del tamaño en la resistencia estructural en Wikimedia Commons