En mecánica aplicada , la flexión (también conocida como flexión ) caracteriza el comportamiento de un elemento estructural esbelto sometido a una carga externa aplicada perpendicularmente a un eje longitudinal del elemento.
Se supone que el elemento estructural es tal que al menos una de sus dimensiones es una pequeña fracción, típicamente 1/10 o menos, de las otras dos. [1] Cuando la longitud es considerablemente más larga que el ancho y el espesor, el elemento se denomina viga . Por ejemplo, una barra de armario que se hunde bajo el peso de la ropa en perchas es un ejemplo de una viga que se dobla. Por otro lado, una conchaes una estructura de cualquier forma geométrica donde la longitud y el ancho son del mismo orden de magnitud, pero el grosor de la estructura (conocido como 'muro') es considerablemente menor. Un tubo corto de gran diámetro, pero de paredes delgadas, sostenido en sus extremos y cargado lateralmente es un ejemplo de una carcasa que se dobla.
En ausencia de un calificador, el término flexión es ambiguo porque la flexión puede ocurrir localmente en todos los objetos. Por lo tanto, para hacer el uso del término más preciso, los ingenieros se refieren a un objeto específico como; el doblado de varillas , [2] el doblado de vigas , [1] el doblado de placas , [3] el doblado de conchas [2] y así sucesivamente.
Flexión cuasiestática de vigas
Una viga se deforma y se desarrollan tensiones en su interior cuando se le aplica una carga transversal. En el caso cuasi-estático, se supone que la cantidad de deflexión por flexión y las tensiones que se desarrollan no cambian con el tiempo. En una viga horizontal apoyada en los extremos y cargada hacia abajo en el medio, el material en la parte superior de la viga se comprime mientras que el material en la parte inferior se estira. Hay dos formas de tensiones internas causadas por cargas laterales:
- Esfuerzo cortante paralelo a la carga lateral más esfuerzo cortante complementario en planos perpendiculares a la dirección de la carga;
- Tensión de compresión directa en la región superior de la viga y tensión de tracción directa en la región inferior de la viga.
Estas dos últimas fuerzas forman un par o momento ya que son iguales en magnitud y opuestas en dirección. Este momento de flexión resiste la deformación por pandeo característica de una viga que experimenta flexión. La distribución de esfuerzos en una viga se puede predecir con bastante precisión cuando se utilizan algunos supuestos simplificadores. [1]
Teoría de la flexión de Euler-Bernoulli
En la teoría de Euler-Bernoulli de vigas delgadas, una suposición principal es que "las secciones planas permanecen planas". En otras palabras, no se tiene en cuenta ninguna deformación debida a cortante a lo largo de la sección (sin deformación por cortante). Además, esta distribución lineal solo es aplicable si la tensión máxima es menor que la tensión de fluencia del material. Para tensiones que exceden el rendimiento, consulte el artículo sobre doblado de plástico . En el límite elástico, el esfuerzo máximo experimentado en la sección (en los puntos más alejados del eje neutro de la viga) se define como la resistencia a la flexión .
Considere las vigas donde se cumple lo siguiente:
- La viga es originalmente recta y delgada, y cualquier ahusamiento es leve
- El material es isotrópico (u ortotrópico ), elástico lineal y homogéneo en cualquier sección transversal (pero no necesariamente a lo largo de su longitud).
- Solo se consideran pequeñas deflexiones
En este caso, la ecuación que describe la deflexión del haz () se puede aproximar como:
donde la segunda derivada de su forma desviada con respecto a se interpreta como su curvatura, es el módulo de Young ,es el momento de inercia del área de la sección transversal, y es el momento flector interno en la viga.
Si, además, la viga también es homogénea a lo largo de su longitud y no está ahusada (es decir, sección transversal constante) y se desvía bajo una carga transversal aplicada, se puede demostrar que: [1]
Ésta es la ecuación de Euler-Bernoulli para la flexión de vigas.
Después de obtener una solución para el desplazamiento de la viga, el momento flector () y fuerza cortante () en la viga se puede calcular utilizando las relaciones
La flexión simple de la viga a menudo se analiza con la ecuación de la viga de Euler-Bernoulli. Las condiciones para utilizar la teoría de flexión simple son: [4]
- La viga está sujeta a una flexión pura . Esto significa que la fuerza cortante es cero y que no existen cargas axiales o de torsión.
- El material es isotrópico (u ortotrópico ) y homogéneo .
- El material obedece a la ley de Hooke (es linealmente elástico y no se deforma plásticamente).
- La viga es inicialmente recta con una sección transversal constante en toda la longitud de la viga.
- La viga tiene un eje de simetría en el plano de flexión.
- Las proporciones de la viga son tales que fallaría por flexión en lugar de por trituración, arrugando o hacia los lados de pandeo .
- Las secciones transversales de la viga permanecen planas durante el plegado.
Las fuerzas de compresión y tracción se desarrollan en la dirección del eje de la viga bajo cargas de flexión. Estas fuerzas inducen tensiones en la viga. La tensión máxima de compresión se encuentra en el borde superior de la viga, mientras que la tensión máxima de tracción se encuentra en el borde inferior de la viga. Dado que las tensiones entre estos dos máximos opuestos varían linealmente , existe un punto en la trayectoria lineal entre ellos donde no hay tensión de flexión. El lugar de estos puntos es el eje neutro. Debido a esta área sin tensión y las áreas adyacentes con poca tensión, el uso de vigas de sección transversal uniforme en flexión no es un medio particularmente eficiente para soportar una carga, ya que no usa la capacidad total de la viga hasta que está al borde de la colapso. Las vigas de ala ancha (vigas en I ) y las vigas de celosía abordan eficazmente esta ineficiencia, ya que minimizan la cantidad de material en esta región sometida a esfuerzos.
La fórmula clásica para determinar el esfuerzo de flexión en una viga bajo flexión simple es: [5]
dónde
- es la tensión de flexión
- - el momento sobre el eje neutro
- - la distancia perpendicular al eje neutro
- - el segundo momento del área alrededor del eje neutro z .
- - el Momento de Resistencia sobre el eje neutro z .
Extensiones de la teoría de flexión de vigas de Euler-Bernoulli
Doblado de plastico
La ecuacion es válido solo cuando la tensión en la fibra extrema (es decir, la porción de la viga más alejada del eje neutro) está por debajo de la tensión de fluencia del material con el que está construida. A cargas más altas, la distribución de la tensión se vuelve no lineal, y los materiales dúctiles eventualmente entrarán en un estado de bisagra plástica donde la magnitud de la tensión es igual a la tensión de fluencia en todas partes de la viga, con una discontinuidad en el eje neutral donde la tensión cambia de de tracción a compresión. Este estado de bisagra de plástico se utiliza normalmente como estado límite en el diseño de estructuras de acero.
Flexión compleja o asimétrica
La ecuación anterior solo es válida si la sección transversal es simétrica. Para vigas homogéneas con secciones asimétricas, la tensión máxima de flexión en la viga viene dada por
- [6]
dónde son las coordenadas de un punto en la sección transversal en el que se va a determinar la tensión, como se muestra a la derecha, y son los momentos flectores sobre los ejes centroides yyz , y son los segundos momentos del área (distintos de los momentos de inercia) alrededor de los ejes y y z, y es el producto de momentos de área . Con esta ecuación es posible calcular el esfuerzo de flexión en cualquier punto de la sección transversal de la viga, independientemente de la orientación del momento o la forma de la sección transversal. Tenga en cuenta que no cambie de un punto a otro en la sección transversal.
Gran deformación por flexión
Para grandes deformaciones del cuerpo, la tensión en la sección transversal se calcula utilizando una versión extendida de esta fórmula. Primero deben hacerse las siguientes suposiciones:
- Asunción de secciones planas: antes y después de la deformación, la sección considerada del cuerpo permanece plana (es decir, no se arremolina).
- Los esfuerzos cortantes y normales en esta sección que son perpendiculares al vector normal de la sección transversal no tienen influencia sobre los esfuerzos normales que son paralelos a esta sección.
Deben implementarse grandes consideraciones de flexión cuando el radio de flexión es menor que diez alturas de sección h:
Con esos supuestos, el esfuerzo en flexión grande se calcula como:
dónde
- es la fuerza normal
- es el área de la sección
- es el momento flector
- es el radio de curvatura local (el radio de curvatura en la sección actual)
- es el momento de inercia del área a lo largo del eje x , en el lugar (ver teorema de Steiner )
- es la posición a lo largo del eje y en el área de la sección en la que la tensión es calculado.
Al doblar el radio se acerca al infinito y , la fórmula original está de vuelta:
- .
Teoría de la flexión de Timoshenko
En 1921, Timoshenko mejoró la teoría de vigas de Euler-Bernoulli al agregar el efecto de cortante en la ecuación de la viga. Los supuestos cinemáticos de la teoría de Timoshenko son:
- las normales al eje de la viga permanecen rectas después de la deformación
- no hay cambio en el espesor de la viga después de la deformación
Sin embargo, no es necesario que las normales al eje permanezcan perpendiculares al eje después de la deformación.
La ecuación para la flexión cuasiestática de una viga elástica lineal, isótropa y homogénea de sección transversal constante bajo estos supuestos es [7]
dónde es el momento de inercia del área de la sección transversal, es el área de la sección transversal, es el módulo de corte ,es un factor de corrección de cizallamiento , yes una carga transversal aplicada. Para materiales con proporciones de Poisson () cercano a 0.3, el factor de corrección de cortante para una sección transversal rectangular es aproximadamente
La rotación () de la normal se describe mediante la ecuación
El momento flector () y la fuerza cortante () son dados por
Vigas sobre cimientos elásticos
Según Euler-Bernoulli, Timoshenko u otras teorías de flexión, las vigas sobre cimientos elásticos pueden explicarse. En algunas aplicaciones como vías férreas, cimentación de edificios y máquinas, barcos sobre el agua, raíces de plantas, etc., la viga sometida a cargas se apoya sobre cimientos elásticos continuos (es decir, las reacciones continuas debidas a cargas externas se distribuyen a lo largo de la la viga) [8] [9] [10] [11]
Flexión dinámica de vigas
La flexión dinámica de las vigas, [12] también conocida como vibraciones de flexión de las vigas, fue investigada por primera vez por Daniel Bernoulli a finales del siglo XVIII. La ecuación de movimiento de Bernoulli de un haz vibrante tendía a sobrestimar las frecuencias naturales de los haces y fue mejorada marginalmente por Rayleigh en 1877 mediante la adición de una rotación en el plano medio. En 1921, Stephen Timoshenko mejoró aún más la teoría al incorporar el efecto del cortante en la respuesta dinámica de las vigas a flexión. Esto permitió que la teoría se utilizara para problemas que implican altas frecuencias de vibración donde la teoría dinámica de Euler-Bernoulli es inadecuada. Los ingenieros siguen utilizando ampliamente las teorías de Euler-Bernoulli y Timoshenko para la flexión dinámica de vigas.
Teoría de Euler-Bernoulli
La ecuación de Euler-Bernoulli para la flexión dinámica de vigas delgadas, isotrópicas y homogéneas de sección transversal constante bajo una carga transversal aplicada es [7]
dónde es el módulo de Young, es el momento de inercia del área de la sección transversal, es la deflexión del eje neutro de la viga, y es la masa por unidad de longitud de la viga.
Vibraciones libres
Para la situación en la que no hay carga transversal en la viga, la ecuación de flexión toma la forma
Las vibraciones armónicas libres del haz se pueden expresar como
y la ecuación de flexión se puede escribir como
La solución general de la ecuación anterior es
dónde son constantes y
Las formas de los modos de un voladizo que -beam | ||
---|---|---|
Teoría de Timoshenko-Rayleigh
En 1877, Rayleigh propuso una mejora de la teoría dinámica del haz de Euler-Bernoulli al incluir el efecto de la inercia rotacional de la sección transversal del haz. Timoshenko mejoró esa teoría en 1922 al agregar el efecto de cortante en la ecuación de la viga. Las deformaciones por cortante de la normal a la superficie media de la viga están permitidas en la teoría de Timoshenko-Rayleigh.
La ecuación para la flexión de una viga elástica lineal, isotrópica, homogénea de sección transversal constante bajo estos supuestos es [7] [13]
dónde es el momento polar de inercia de la sección transversal, es la masa por unidad de longitud de la viga, es la densidad del haz, es el área de la sección transversal, es el módulo de corte, y es un factor de corrección de cizallamiento . Para materiales con proporciones de Poisson () cerca de 0.3, el factor de corrección de cizallamiento es aproximadamente
Vibraciones libres
Para vibraciones armónicas libres, las ecuaciones de Timoshenko-Rayleigh toman la forma
Esta ecuación se puede resolver observando que todas las derivadas de debe tener la misma forma para cancelar y, por tanto, como solución de la forma puede esperarse. Esta observación conduce a la ecuación característica
Las soluciones de esta ecuación cuártica son
dónde
La solución general de la ecuación del haz de Timoshenko-Rayleigh para vibraciones libres se puede escribir como
Doblado cuasiestático de placas
La característica definitoria de las vigas es que una de las dimensiones es mucho mayor que las otras dos. Una estructura se llama placa cuando es plana y una de sus dimensiones es mucho más pequeña que las otras dos. Hay varias teorías que intentan describir la deformación y la tensión en una placa bajo cargas aplicadas, dos de las cuales se han utilizado ampliamente. Estos son
- la teoría de las placas de Kirchhoff-Love (también llamada teoría clásica de las placas)
- la teoría de las placas de Mindlin-Reissner (también llamada teoría de las placas de corte de primer orden)
Teoría de las placas de Kirchhoff-Love
Los supuestos de la teoría Kirchhoff-Love son
- las líneas rectas normales a la superficie media permanecen rectas después de la deformación
- las líneas rectas normales a la superficie media permanecen normales a la superficie media después de la deformación
- el espesor de la placa no cambia durante una deformación.
Estos supuestos implican que
dónde es el desplazamiento de un punto en la placa y es el desplazamiento de la superficie media.
Las relaciones tensión-desplazamiento son
Las ecuaciones de equilibrio son
dónde es una carga aplicada normal a la superficie de la placa.
En términos de desplazamientos, las ecuaciones de equilibrio para una placa elástica lineal isotrópica en ausencia de carga externa se pueden escribir como
En notación tensorial directa,
Teoría de placas de Mindlin-Reissner
El supuesto especial de esta teoría es que las normales a la superficie media permanecen rectas e inextensibles, pero no necesariamente normales a la superficie media después de la deformación. Los desplazamientos de la placa están dados por
dónde son las rotaciones de lo normal.
Las relaciones tensión-desplazamiento que resultan de estos supuestos son
dónde es un factor de corrección de cizallamiento.
Las ecuaciones de equilibrio son
dónde
Doblado dinámico de placas
Dinámica de las placas delgadas de Kirchhoff
La teoría dinámica de placas determina la propagación de ondas en las placas y el estudio de ondas estacionarias y modos de vibración. Las ecuaciones que gobiernan la flexión dinámica de las placas de Kirchhoff son
donde, para una placa con densidad ,
y
Las figuras siguientes muestran algunos modos vibratorios de una placa circular.
modo k = 0, p = 1
modo k = 0, p = 2
modo k = 1, p = 2
Ver también
- Momento de flexión
- Dobladora (doblado de metal plano)
- Freno (doblado de chapa)
- Efecto brasero
- Doblado de placas
- Doblado (trabajo de metales)
- Mecánica de Medios Continuos
- Contraflexión
- Deflexión (ingeniería)
- Cojinete de flexión
- Lista de momentos de inercia del área
- Diagrama de corte y momento
- Resistencia a la cizalladura
- Teoría del sándwich
- Vibración
- Vibración de placas
Referencias
- ^ a b c d Boresi, AP y Schmidt, RJ y Sidebottom, OM, 1993, Mecánica avanzada de materiales , John Wiley and Sons, Nueva York.
- ^ a b Libai, A. y Simmonds, JG, 1998, La teoría no lineal de conchas elásticas , Cambridge University Press.
- ^ Timoshenko, S. y Woinowsky-Krieger, S., 1959, Teoría de placas y conchas , McGraw-Hill.
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- ^ Gere, JM y Timoshenko, SP, 1997, Mecánica de materiales , PWS Publishing Company.
- ^ Cook and Young, 1995, Mecánica avanzada de materiales, Macmillan Publishing Company: Nueva York
- ^ a b c Thomson, WT, 1981, Teoría de la vibración con aplicaciones
- ^ HETÉNYI, Miklos (1946). Vigas sobre base elástica . Ann Arbor, Estudios de la Universidad de Michigan, Estados Unidos.
- ^ MELERSKI, E., S. (2006). Análisis de Diseño de Vigas, Placas Circulares y Tanques Cilíndricos sobre Cimentaciones Elásticas (2ª ed.). Londres, Reino Unido: Taylor & Francis Group. pag. 284. ISBN 978-0-415-38350-9.
- ^ TSUDIK, E. Análisis de vigas y marcos en cimentación elástica . Estados Unidos: Trafford Publishing. pag. 248. ISBN 1-4120-7950-0.
- ^ FRYDRÝŠEK, Karel; Tvrdá, Katarína; Jančo, Roland; et al. (2013). Handbook of Structures on Elastic Foundation (1ª ed.). Ostrava, República Checa: VSB - Universidad Técnica de Ostrava. págs. 1-1691. ISBN 978-80-248-3238-8.
- ^ Han, S. M, Benaroya, H. y Wei, T., 1999, "Dinámica de vigas que vibran transversalmente utilizando cuatro teorías de ingeniería", Journal of Sound and Vibration , vol. 226, no. 5, págs. 935–988.
- ^ Rosinger, HE y Ritchie, IG, 1977, Sobre la corrección de Timoshenko para cizallamiento en vigas isotrópicas vibrantes, J. Phys. D: Appl. Phys., Vol. 10, págs. 1461-1466.
enlaces externos
- Fórmulas de flexión
- Tensión y deflexión de la viga, tablas de deflexión de la viga