Las relaciones de madejas son una herramienta matemática utilizada para estudiar los nudos . Una pregunta central en la teoría matemática de los nudos es si dos diagramas de nudos representan el mismo nudo. Una forma de responder la pregunta es usando polinomios de nudo , que son invariantes del nudo . Si dos diagramas tienen polinomios diferentes , representan nudos diferentes. En general, lo contrario no se cumple.
Las relaciones de madeja a menudo se usan para dar una definición simple de polinomios de nudos. Una relación de madeja da una relación lineal entre los valores de un polinomio de nudo en una colección de tres enlaces que difieren entre sí solo en una pequeña región. Para algunos polinomios de nudos, como los polinomios de Conway , Alexander y Jones , las relaciones de madeja relevantes son suficientes para calcular el polinomio recursivamente .
Una relación de madeja requiere tres diagramas de enlace que sean idénticos excepto en un cruce. Los tres diagramas deben exhibir las tres posibilidades que podrían ocurrir para los dos segmentos de línea en ese cruce, una de las líneas podría pasar por debajo, la misma línea podría estar sobre o las dos líneas podrían no cruzarse en absoluto. Los diagramas de enlace deben ser considerados porque un solo cambio de madeja puede alterar un diagrama de representar un nudo a uno que representa un enlace y viceversa. Dependiendo del polinomio de nudos en cuestión, los enlaces (o enredos) que aparecen en una relación de madeja pueden estar orientados o no.
Los tres diagramas están etiquetados de la siguiente manera. Gire el diagrama de tres enlaces para que las direcciones en el cruce en cuestión sean aproximadamente hacia el norte. Un diagrama tendrá noroeste sobre noreste, está etiquetado como L − . Otro tendrá noreste sobre noroeste, es L + . El diagrama restante carece de ese cruce y está etiquetado como L 0 .
(El etiquetado es independiente de la dirección en la medida en que sigue siendo el mismo si todas las direcciones se invierten. Por lo tanto, los polinomios en nudos no dirigidos se definen sin ambigüedades mediante este método. Sin embargo, las direcciones en los enlaces son un detalle vital para retener cuando uno recurre a través de un cálculo de polinomios. .)
También es sensato pensar en un sentido generativo, tomando un diagrama de enlace existente y "reparándolo" para hacer los otros dos, siempre que los parches se apliquen con direcciones compatibles.