En el campo matemático de la teoría de nudos , el polinomio de Jones es un polinomio de nudos descubierto por Vaughan Jones en 1984. [1] [2] Específicamente, es un invariante de un nudo o vínculo orientado que asigna a cada nudo o vínculo orientado un Laurent polinomio en la variablecon coeficientes enteros. [3]
Definición por paréntesis
Supongamos que tenemos un enlace orientado , dado como un diagrama de nudos . Definiremos el polinomio de Jones,, Utilizando Louis Kauffman 's polinomio de soporte , que denotamos por. Aquí el polinomio de corchetes es un polinomio de Laurent en la variable con coeficientes enteros.
Primero, definimos el polinomio auxiliar (también conocido como polinomio de paréntesis normalizado)
dónde denota el retorcimiento deen su diagrama dado. El retorcimiento de un diagrama es el número de cruces positivos ( en la figura siguiente) menos el número de cruces negativos (). El retorcimiento no es un nudo invariante.
es un nudo invariante ya que es invariante bajo cambios del diagrama de por los tres movimientos de Reidemeister . La invariancia en los movimientos Reidemeister de tipo II y III se deriva de la invariancia del paréntesis debajo de esos movimientos. Se sabe que el polinomio de paréntesis cambia en un factor debajo un movimiento de Reidemeister tipo I. La definición de la El polinomio dado arriba está diseñado para anular este cambio, ya que el retorcimiento cambia apropiadamente por o en movimientos de tipo I.
Ahora haz la sustitución en para obtener el polinomio de Jones . Esto da como resultado un polinomio de Laurent con coeficientes enteros en la variable.
Polinomio de Jones para enredos
Esta construcción del polinomio de Jones para enredos es una simple generalización del corchete de Kauffman de un vínculo. La construcción fue desarrollada por Vladimir Turaev y publicada en 1990. [4]
Dejar ser un número entero no negativo y denotar el conjunto de todos los tipos isotópicos de diagramas de maraña, con extremos, sin puntos de cruce y sin componentes cerrados (alisados). La construcción de Turaev hace uso de la construcción anterior para el soporte Kauffman y se asocia a cada-enredo orientado al final un elemento de la libre -módulo , dónde es el anillo de polinomios de Laurent con coeficientes enteros en la variable.
Definición por representación de trenza
La formulación original de Jones de su polinomio provino de su estudio de álgebras de operadores. En el enfoque de Jones, resultó de una especie de "rastro" de una representación de trenza particular en un álgebra que surgió originalmente al estudiar ciertos modelos, por ejemplo, el modelo de Potts , en mecánica estadística .
Dejemos que se dé un vínculo L. Un teorema de Alexander establece que es el cierre de traza de una trenza, digamos con n hebras. Ahora define una representacióndel grupo de trenzas en n hebras, B n , en el álgebra de Temperley-Lieb con coeficientes en y . El generador de trenzas estándar se envía a , dónde son los generadores estándar del álgebra de Temperley-Lieb. Se puede comprobar fácilmente que esto define una representación.
Toma la palabra trenza obtenido previamente de y calcular dónde es el rastro de Markov . Esto da, dónde es el polinomio de corchetes. Esto puede verse si se considera, como hizo Louis Kauffman , el álgebra de Temperley-Lieb como un álgebra de diagrama particular.
Una ventaja de este enfoque es que se pueden seleccionar representaciones similares en otras álgebras, como las representaciones de matriz R , lo que conduce a "invariantes de Jones generalizadas".
Propiedades
El polinomio de Jones se caracteriza por tomar el valor 1 en cualquier diagrama del desanudo y satisface la siguiente relación de madeja :
dónde , , y son tres diagramas de enlaces orientados que son idénticos excepto en una pequeña región donde se diferencian por los cambios de cruce o suavizado que se muestran en la siguiente figura:
La definición del polinomio de Jones por el corchete simplifica mostrar que para un nudo , el polinomio de Jones de su imagen especular está dado por sustitución de por en . Así, un nudo anfiqueiral , un nudo equivalente a su imagen especular, tiene entradas palindrómicas en su polinomio de Jones. Consulte el artículo sobre la relación de madeja para ver un ejemplo de un cálculo que utiliza estas relaciones.
Otra propiedad notable de este invariante establece que el polinomio de Jones de un enlace alterno es un polinomio alterno. Esta propiedad fue probada por Morwen Thistlethwaite [5] en 1987. Otra prueba de esta última propiedad se debe a Hernando Burgos-Soto , quien también dio una extensión a los enredos [6] de la propiedad.
Polinomio de Jones coloreado
Para un entero positivo N, un polinomio de Jones de color Nse puede definir como el polinomio de Jones para N cables del nudocomo se muestra en la figura de la derecha. Está asociado con un-representación irreductible dimensional de. La etiqueta N significa colorear. Al igual que el polinomio de Jones ordinario, se puede definir mediante la relación Skein y es un polinomio de Laurent en una variable t . El polinomio de Jones de color N tiene las siguientes propiedades:
- dónde Son dos espacios de representación.
- es igual al polinomio de Jones de los 2 cables de L con dos componentes etiquetados por y . Así que el polinomio de Jones de color N es igual al polinomio de Jones original de los N cables de .
- El polinomio de Jones original aparece como un caso especial: .
Relación con otras teorías
Vínculo con la teoría de Chern-Simons
Como lo mostró por primera vez Edward Witten , el polinomio de Jones de un nudo dadose puede obtener considerando la teoría de Chern-Simons en las tres esferas con grupo de calibre y calcular el valor esperado de vacío de un bucle de Wilson , asociado a , y la representación fundamental de .
Enlace con invariantes de nudos cuánticos
Sustituyendo para la variable del polinomio de Jones y expandiéndolo a medida que la serie de h cada uno de los coeficientes se convierte en el invariante de Vassiliev del nudo. Para unificar las invariantes de Vassiliev (o invariantes de tipo finito), Maxim Kontsevich construyó la integral de Kontsevich . El valor de la integral de Kontsevich, que es la suma infinita de diagramas de acordes de 1, 3 valores , denominados diagramas de acordes de Jacobi, reproduce el polinomio de Jones junto con elsistema de peso estudiado por Dror Bar-Natan .
Vincular con la conjetura del volumen
Mediante exámenes numéricos en algunos nodos hiperbólicos, Rinat Kashaev descubrió que al sustituir la raíz n -ésima de la unidad en el parámetro del polinomio de Jones coloreado correspondiente a la representación n- dimensional, y limitarlo a medida que n crece hasta el infinito, el valor límite daría el volumen hiperbólico del complemento del nudo . (Ver la conjetura del volumen ).
Vínculo con la homología de Khovanov
En 2000, Mikhail Khovanov construyó un cierto complejo de cadenas para nudos y eslabones y demostró que la homología inducida a partir de él es una invariante de nudos (ver homología de Khovanov ). El polinomio de Jones se describe como la característica de Euler para esta homología.
Problemas abiertos
- ¿Existe un nudo no trivial con polinomio de Jones igual al del desanudo ? Se sabe que existen vínculos no triviales con el polinomio de Jones iguales a los correspondientes desvinculaciones del trabajo de Morwen Thistlethwaite .
- Problema (Extensión del polinomio de Jones a 3 variedades generales)
`` El polinomio de Jones original se definió para enlaces 1 en la esfera 3 (la bola 3, el espacio 3 ). ¿Puede definir el polinomio de Jones para enlaces 1 en cualquier variedad de 3? ''
Este enfoque fue propuesto por Józef H. Przytycki bajo el nombre de módulos de madeja. En particular, el módulo de madejas de soporte Kauffman y el módulo de madejas HOMFLYPT. [7]
Consulte la sección 1.1 de este documento [8] para conocer los antecedentes y la historia de este problema. Kauffman presentó una solución en el caso del colector de producto de superficie orientada cerrada y el intervalo cerrado, mediante la introducción de nudos 1 virtuales. [9] Está abierto en los demás casos. La integral de trayectoria de Witten para el polinomio de Jones se escribe formalmente para enlaces en cualquier variedad compacta de 3, pero el cálculo no se realiza ni siquiera a nivel de física en ningún otro caso que no sea el de 3 esferas (la bola 3 o el espacio 3). Este problema también está abierto a nivel de la física. En el caso del polinomio de Alexander, este problema está resuelto.
Ver también
- Polinomio HOMFLY
- Polinomio de Alexander
Notas
- ^ Jones, Vaughan FR (1985). "Un invariante polinomial de nudos a través del álgebra de von Neumann" . Boletín de la American Mathematical Society . (NS). 12 : 103-111. doi : 10.1090 / s0273-0979-1985-15304-2 . Señor 0766964 .
- ^ Jones, Vaughan FR (1987). "Representaciones de álgebra de Hecke de grupos de trenzas y polinomios de enlace". Annals of Mathematics . (2). 126 (2): 335–388. doi : 10.2307 / 1971403 . JSTOR 1971403 . Señor 0908150 .
- ^ "Polinomios de Jones, volumen y superficies de nudos esenciales: una encuesta" (PDF) .
- ^ Turaev, Vladimir G. (1990). "Invariantes de enredos tipo Jones". Revista de Ciencias Matemáticas . 52 : 2806–2807. doi : 10.1007 / bf01099242 .
- ^ Thistlethwaite, Morwen B. (1987). "Una expansión de árbol de expansión del polinomio de Jones" . Topología . 26 (3): 297-309. doi : 10.1016 / 0040-9383 (87) 90003-6 .
- ^ Burgos-Soto, Hernando (2010). "El polinomio de Jones y el álgebra plana de enlaces alternos". Revista de teoría de nudos y sus ramificaciones . 19 (11): 1487–1505. arXiv : 0807.2600 . doi : 10.1142 / s0218216510008510 .
- ^ Przytycki, Józef H. (1991), "Módulos de madejas de tres variedades", Boletín de la Academia de Ciencias de Polonia , 39 (1–2): 91–100, arXiv : math / 0611797
- ^ Kauffman, Louis H .; Ogasa, Eiji; Schneider, Jonathan (2018), Una construcción giratoria para 1 nudo virtual y 2 nudos, y la equivalencia de fibra y soldada de 1 nudo virtual , arXiv : 1808.03023
- ^ Kauffman, LE (1998), Charlas en la reunión de MSRI en enero de 1997, Reunión de AMS en la Universidad de Maryland, College Park en marzo de 1997, Conferencia del Instituto Isaac Newton en noviembre de 1997, Reunión de Knots in Hellas en Delphi, Grecia en julio de 1998, APCTP- Simposio NANKAI sobre sistemas Yang-Baxter, modelos y aplicaciones no lineales en Seúl, Corea, en octubre de 1998, teoría del nudo virtual, European J. Combin. 20 (1999) 663-690 , arXiv : matemáticas / 9811028
Referencias
- Adams, Colin (6 de diciembre de 2000). El libro del nudo . Sociedad Matemática Estadounidense . ISBN 0-8050-7380-9.
- Jones, Vaughan . "El polinomio de Jones" (PDF) .
- Jones, Vaughan (1987). "Representaciones de álgebra de Hecke de grupos de trenzas y polinomios de enlace". Annals of Mathematics . 126 (2): 335–388. doi : 10.2307 / 1971403 .
- Kauffman, Louis H. (1987). "Modelos de estado y polinomio de Jones" . Topología . 26 (3): 395–407. doi : 10.1016 / 0040-9383 (87) 90009-7 . (explica la definición por polinomio de corchetes y su relación con la formulación de Jones por representación de trenza)
- Lickorish, WB Raymond (1997). Introducción a la teoría de los nudos . Nueva York; Berlina; Heidelberg; Barcelona; Budapest; Hong Kong; Londres; Milán; París; Santa Clara; Singapur; Tokio: Springer. pag. 175. ISBN 978-0-387-98254-0.
- Thistlethwaite, Morwen (2001). "Vínculos con polinomio trivial de Jones". Revista de teoría de nudos y sus ramificaciones . 10 (4): 641–643. doi : 10.1142 / S0218216501001050 .
- Eliahou, Shalom; Kauffman, Louis H .; Thistlethwaite, Morwen B. (2003). "Familias infinitas de enlaces con polinomio de Jones trivial" . Topología . 42 (1): 155-169. doi : 10.1016 / S0040-9383 (02) 00012-5 .
- Przytycki, Józef H. (1991). "Módulos de madejas de 3 colectores". Boletín de la Academia de Ciencias de Polonia . 39 (1–2): 91–100. arXiv : matemáticas / 0611797 .
enlaces externos
- "Polinomio de Jones-Conway" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
- Vínculos con el polinomio trivial de Jones por Morwen Thistlethwaite
- " El polinomio de Jones ", The Knot Atlas .