Enlace (teoría del nudo)

Una colección de nudos que no se cruzan, pero que pueden estar vinculados

Los anillos de Borromeo , un enlace con tres componentes, cada uno equivalente al desanudo.

En la teoría matemática de nudos , un vínculo es una colección de nudos que no se cruzan, pero que pueden estar vinculados (o anudados) entre sí. Un nudo se puede describir como un enlace con un componente. Los enlaces y los nudos se estudian en una rama de las matemáticas llamada teoría de los nudos . Implícito en esta definición es que hay un enlace de referencia trivial , generalmente llamado desvincular , pero la palabra también se usa a veces en un contexto donde no hay una noción de enlace trivial.

Un enlace de Hopf atravesado por un anillo retorcido .

Por ejemplo, un enlace de dos dimensiones en un espacio tridimensional es un subespacio del espacio euclidiano tridimensional (o, a menudo, la esfera tridimensional ) cuyos componentes conectados son homeomorfos a los círculos .

El ejemplo no trivial más simple de un enlace con más de un componente se llama enlace Hopf , que consta de dos círculos (o nudos ) unidos entre sí una vez. Los círculos de los anillos borromeos están vinculados colectivamente a pesar de que no hay dos directamente vinculados. Los anillos de Borromeo forman así un vínculo de Brunnian y, de hecho, constituyen el vínculo más simple de este tipo.

Nudo de trébol unido con un círculo.

El enlace Hopf es cobordante con la desvinculación .

(2,4) enlace de toro

Generalizaciones

La noción de enlace se puede generalizar de varias formas.

Colectores generales

Frecuentemente, la palabra de enlace se utiliza para describir cualquier subvariedad de la esfera difeomorfa a una unión de la desunión de un número finito de esferas , . ${\displaystyle S^{n}}$${\displaystyle S^{j}}$

En general, la palabra enlace es esencialmente la misma que la palabra nudo : el contexto es que uno tiene una subvariedad M de una variedad N (considerada trivialmente incrustada) y una incrustación no trivial de M en N , no trivial en el sentido de que la 2ª incrustación no es isotópica a la 1ª. Si M está desconectado, la incrustación se denomina vínculo (o se dice que está vinculado ). Si M está conectado, se llama nudo.

Enredos, eslabones de hilo y trenzas

Ver también: Tangle (matemáticas)

Si bien los enlaces (unidimensionales) se definen como incrustaciones de círculos, a menudo es interesante y especialmente útil desde el punto de vista técnico considerar intervalos incrustados (hebras), como en la teoría de trenzas .

En general, se puede considerar un enredo ^{[1] [2]} : un enredo es una incrustación

${\displaystyle T\colon X\to \mathbf {R} ^{2}\times I}$

de una variedad 1 compacta (suave) con límite en el plano multiplicado por el intervalo tal que el límite está incrustado en ${\displaystyle (X,\partial X)}$${\displaystyle I=[0,1],}$${\displaystyle T(\partial X)}$

${\displaystyle \mathbf {R} \times \{0,1\}}$( ).${\displaystyle \{0,1\}=\partial I}$

El tipo de maraña es el colector X, junto con una incrustación fija de${\displaystyle \partial X.}$

Concretamente, un colector 1 compacto conectado con límite es un intervalo o un círculo (la compacidad descarta el intervalo abierto y el intervalo semiabierto, ninguno de los cuales produce incrustaciones no triviales, ya que el extremo abierto significa que pueden encogerse a un punto ), por lo que una posiblemente desconectado compacto 1-colector es un conjunto de n intervalos y m círculos la condición de que el límite de X mentiras en ${\displaystyle I=[0,1]}$${\displaystyle S^{1}}$${\displaystyle (0,1)}$${\displaystyle [0,1),}$${\displaystyle I=[0,1]}$${\displaystyle S^{1}.}$

${\displaystyle \mathbf {R} \times \{0,1\}}$

dice que los intervalos conectan dos líneas o conectan dos puntos en una de las líneas, pero no impone condiciones en los círculos. Se puede ver que los enredos tienen una dirección vertical ( I ), que se encuentran entre dos líneas y posiblemente las conectan.

( y ),${\displaystyle \mathbf {R} \times 0}$${\displaystyle \mathbf {R} \times 1}$

y luego poder moverse en una dirección horizontal bidimensional ( ) ${\displaystyle \mathbf {R} ^{2}}$

entre estas líneas; se pueden proyectar para formar un diagrama de enredos , análogo a un diagrama de nudos .

Los enredos incluyen enlaces (si X solo consta de círculos), trenzas y otros además, por ejemplo, un hilo que conecta las dos líneas con un círculo vinculado a su alrededor.

En este contexto, una trenza se define como una maraña que siempre va hacia abajo, cuya derivada siempre tiene un componente distinto de cero en la dirección vertical ( I ). En particular, debe consistir únicamente en intervalos y no doblarse sobre sí mismo; sin embargo, no se especifica en qué parte de la línea se encuentran los extremos.

Un enlace de cadenaes una maraña que consta de solo intervalos, y los extremos de cada hebra deben estar en (0, 0), (0, 1), (1, 0), (1, 1), (2, 0), (2 , 1), ... - es decir, conectando los números enteros y terminando en el mismo orden en que comenzaron (se puede usar cualquier otro conjunto fijo de puntos); si tiene ℓ componentes, lo llamamos " enlace de cadena de componente ℓ ". Un eslabón de cuerda no necesita ser una trenza; puede doblarse sobre sí mismo, como un eslabón de cuerda de dos componentes que presenta un nudo simple . Una trenza que también es un enlace de cuerda se llama trenza pura y se corresponde con la noción habitual.

El valor técnico clave de los enredos y los enlaces de cuerdas es que tienen una estructura algebraica. Las clases isotópicas de enredos forman una categoría tensorial , donde para la estructura de categorías, uno puede componer dos enredos si el extremo inferior de uno es igual al extremo superior del otro (para que los límites se puedan unir), apilándolos, no es así. Forman literalmente una categoría (puntual) porque no hay identidad, ya que incluso un enredo trivial ocupa el espacio vertical, pero hasta la isotopía lo hacen. La estructura del tensor viene dada por la yuxtaposición de enredos, colocando un enredo a la derecha del otro.

Para un ℓ fijo , las clases de isotopía de enlaces de cadena de componentes ℓ forman un monoide (se pueden componer todos los enlaces de cadena de componentes ℓ y hay una identidad), pero no un grupo, ya que las clases de isotopía de enlaces de cadena no necesitan tener inversas. Sin embargo, las clases de concordancia (y por lo tanto también las clases de homotopía ) de enlaces de cadena tienen inversas, donde la inversa se da volteando el enlace de cadena al revés y, por lo tanto, forma un grupo.

Cada vínculo se puede cortar para formar un vínculo de cadena, aunque esto no es único, y las invariantes de vínculos a veces pueden entenderse como invariantes de vínculos de cadena; este es el caso de las invariantes de Milnor , por ejemplo. Compare con trenzas cerradas .

Ver también

• Número de enlace
• Enlace hiperbólico
• Desconectar
• Grupo de enlaces

Referencias

1. Habegger, Nathan; Lin, XS (1990), "La clasificación de los vínculos hasta la homotopía", Journal of the American Mathematical Society , 2, American Mathematical Society, 3 (2): 389–419, doi : 10.2307 / 1990959 , JSTOR  1990959
2. Habegger, Nathan; Masbaum, Gregor (2000), "La integral de Kontsevich y los invariantes de Milnor", Topología , 39 (6): 1253-1289, doi : 10.1016 / S0040-9383 (99) 00041-5 , preimpresión .