La distribución de Skellam es la distribución de probabilidad discreta de la diferenciade dos variables aleatorias estadísticamente independientes y cada distribución de Poisson con sus respectivos valores esperados y . Es útil para describir las estadísticas de la diferencia de dos imágenes con ruido de fotón simple , así como para describir la distribución de la dispersión de puntos en deportes donde todos los puntos anotados son iguales, como béisbol , hockey y fútbol .
Skellam Función de probabilidad Ejemplos de la función de masa de probabilidad para la distribución de Skellam. El eje horizontal es el índice k . (La función solo se define en valores enteros de k . Las líneas de conexión no indican continuidad). |
Parámetros | |
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Apoyo | |
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PMF | |
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Significar | |
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Mediana | N / A |
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Diferencia | |
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Oblicuidad | |
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Ex. curtosis | |
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MGF | |
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CF | |
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La distribución también es aplicable a un caso especial de la diferencia de variables aleatorias de Poisson dependientes, pero solo al caso obvio en el que las dos variables tienen una contribución aleatoria aditiva común que es cancelada por la diferenciación: ver Karlis & Ntzoufras (2003) para detalles y Una aplicación.
La función de masa de probabilidad para la distribución de Skellam para una diferencia entre dos variables aleatorias independientes distribuidas por Poisson con medias y es dado por:
donde I k ( z ) es la función de Bessel modificada del primer tipo. Como k es un número entero, tenemos que I k ( z ) = I | k | ( z ).
La función de masa de probabilidad de una variable aleatoria distribuida por Poisson con media μ viene dada por
por (y cero en caso contrario). La función de masa de probabilidad de Skellam para la diferencia de dos conteos independienteses la convolución de dos distribuciones de Poisson: ( Skellam , 1946)
Dado que la distribución de Poisson es cero para los valores negativos del recuento , la segunda suma solo se toma para aquellos términos donde y . Se puede demostrar que la suma anterior implica que
así que eso:
donde I k (z) es la función de Bessel modificada del primer tipo. El caso especial para lo da Irwin (1937):
Usando los valores límite de la función de Bessel modificada para argumentos pequeños, podemos recuperar la distribución de Poisson como un caso especial de la distribución de Skellam para .
Como es una función de probabilidad discreta, la función de masa de probabilidad de Skellam está normalizada:
Sabemos que la función generadora de probabilidad (pgf) para una distribución de Poisson es:
De ello se deduce que el pgf, , para una función de masa de probabilidad Skellam será:
Observe que la forma de la función generadora de probabilidad implica que la distribución de las sumas o las diferencias de cualquier número de variables independientes distribuidas en Skellam están nuevamente distribuidas en Skellam. A veces se afirma que cualquier combinación lineal de dos variables distribuidas de Skellam vuelve a tener una distribución de Skellam, pero esto claramente no es cierto ya que cualquier multiplicador que no seacambiaría el soporte de la distribución y alteraría el patrón de momentos de una manera que ninguna distribución de Skellam puede satisfacer.
La función generadora de momentos viene dada por:
que produce los momentos brutos m k . Definir:
Entonces los momentos crudos m k son
Los momentos centrales M k son
La media , la varianza , la asimetría y el exceso de curtosis son respectivamente:
La función generadora de acumuladores viene dada por:
que produce los acumulados :
Para el caso especial cuando μ 1 = μ 2 , una expansión asintótica de la función de Bessel modificada del primer tipo produce para μ grandes:
(Abramowitz y Stegun 1972, p. 377). Además, para este caso especial, cuando k también es grande, y del orden de la raíz cuadrada de 2μ, la distribución tiende a una distribución normal :
Estos resultados especiales pueden extenderse fácilmente al caso más general de diferentes medios.
Límites de peso por encima de cero
Si , con , luego
Los detalles se pueden encontrar en la distribución de Poisson # Carreras de Poisson