En álgebra abstracta , una celosía sesgada es una estructura algebraica que es una generalización no conmutativa de una celosía . Si bien el término rejilla sesgada se puede utilizar para referirse a cualquier generalización no conmutativa de una rejilla, desde 1989 se ha utilizado principalmente de la siguiente manera.
Definición
Un enrejado de inclinación está un conjunto S equipado con dos asociativo , idempotentes operaciones binarias y , llamado conocer y unirse , que valida el siguiente par dual de leyes de absorción
Dado que y son asociativas e idempotentes, estas identidades equivalen a validar el siguiente par dual de declaraciones:
Antecedentes históricos
Durante más de 60 años, las variaciones no conmutativas de las celosías se han estudiado con diferentes motivaciones. Para algunos, la motivación ha sido un interés en los límites conceptuales de la teoría de la celosía ; para otros fue una búsqueda de formas no conmutativas de lógica y álgebra de Boole ; y para otros ha sido el comportamiento de los idempotentes en los anillos . Una celosía no conmutativa , en términos generales, es un álgebra dónde y son operaciones binarias asociativas e idempotentes conectadas por identidades de absorción que garantizan que de alguna manera dualiza . Las identidades precisas elegidas dependen de la motivación subyacente, con diferentes elecciones que producen distintas variedades de álgebras .
Pascual Jordan , motivado por preguntas en lógica cuántica , inició un estudio de celosías no conmutativas en su artículo de 1949, Über Nichtkommutative Verbände , [2] eligiendo las identidades de absorción
Se refirió a esas álgebras que las satisfacen como Schrägverbände . Al variar o aumentar estas identidades, Jordan y otros obtuvieron una serie de variedades de celosías no conmutativas. A partir del artículo de 1989 de Jonathan Leech, Rejillas oblicuas en anillos , [3] las retículas oblicuas como se definieron anteriormente han sido los principales objetos de estudio. Esto fue ayudado por resultados anteriores sobre bandas . Este fue especialmente el caso de muchas de las propiedades básicas.
Propiedades básicas
Orden parcial natural y cuasiorder natural
En una celosía sesgada , el orden parcial natural se define por Si , o dualmente, . El preorden natural en es dado por Si o dualmente . Tiempo y acordar en celosías, refina adecuadamente en el caso no conmutativo. La equivalencia natural inducida es definido por Si , es decir, y o dualmente, y . Los bloques de la partición están ordenados por celosía Si y existen de tal manera que . Esto nos permite dibujar diagramas de Hasse de celosías sesgadas como el siguiente par:
Por ejemplo, en el diagrama de arriba a la izquierda, que y están relacionado se expresa mediante el segmento punteado. Las líneas inclinadas revelan el orden parcial natural entre los elementos de los distintos-clases. Los elementos, y formar el singleton -clases.
Celosías oblicuas rectangulares
Rejillas oblicuas que constan de un solo -las clases se llaman rectangulares . Se caracterizan por las identidades equivalentes:, y . Las celosías oblicuas rectangulares son isomorfas para sesgar las celosías que tienen la siguiente construcción (y viceversa): conjuntos no vacíos dados y , en definir y . La-partición de clase de una celosía sesgada , como se indica en los diagramas anteriores, es la partición única de en sus subálgebras rectangulares máximas, Además, es una congruencia con el álgebra del cociente inducido siendo la imagen de celosía máxima de , haciendo así cada celosía sesgada una celosía de subálgebras rectangulares. Este es el teorema de Clifford-McLean para celosías sesgadas, dado por primera vez para bandas por separado por Clifford y McLean. También se conoce como el primer teorema de descomposición para celosías sesgadas .
Rejillas de inclinación de la mano derecha (izquierda) y la factorización de Kimura
Una celosía sesgada es diestra si satisface la identidad o dualmente, . Estas identidades esencialmente afirman que y en cada -clase. Cada celosía sesgada tiene una imagen máxima para diestros única donde la congruencia es definido por si ambos y (o dualmente, y ). Del mismo modo, una celosía sesgada es zurda si y en cada -clase. De nuevo, la imagen máxima para zurdos de una celosía sesgada es la imagen donde la congruencia se define de forma dual para . Muchos ejemplos de celosías sesgadas son para diestros o zurdos. En el entramado de congruencias, y es la congruencia de identidad . El epimorfismo inducido factores a través de ambos epimorfismos inducidos y . Configuración, el homomorfismo definido por , induce un isomorfismo . Esta es la factorización de Kimura de en un producto fibroso de sus imágenes máximas para diestros y zurdos.
Al igual que el teorema de Clifford-McLean, la factorización de Kimura (o el segundo teorema de descomposición para celosías sesgadas ) se dio primero para bandas regulares (que satisfacen la identidad de absorción media,). De hecho, ambos y son operaciones de banda regulares. Los símbolos anteriores, y provienen, por supuesto, de la teoría básica de semigrupos. [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10]
Subvariedades de celosías sesgadas
Las celosías sesgadas forman una variedad. Las celosías inclinadas rectangulares, las celosías inclinadas para zurdos y diestros forman subvariedades que son fundamentales para la teoría de la estructura básica de las celosías inclinadas. Aquí hay varios más.
Celosías de sesgo simétrico
Una celosía sesgada S es simétrica si para cualquier , Si . Las ocurrencias de conmutación son, por lo tanto, inequívocas para tales celosías sesgadas, con subconjuntos de elementos de conmutación por pares que generan subálgebras conmutativas, es decir, subredes. (Esto no es cierto para las celosías sesgadas en general.) Las bases de las ecuaciones para esta subvariedad, dadas primero por Spinks [11] son: y . Una sección de celosía de una celosía sesgada es una subred de conociendo a cada uno -clase de en un solo elemento. es por tanto una copia interna de la celosía con la composicion siendo un isomorfismo. Todas las celosías sesgadas simétricas para las que | S / D | \ leq \ aleph_0, admite una sección de celosía. [10] Simétrico o no, con sección de celosía garantiza que también tiene copias internas de y dado respectivamente por y , dónde y son los y clases de congruencia de en . Por lo tanto y son isomorfismos. [8] Esto conduce a un diagrama de conmutación de incrustación dualizando el diagrama de Kimura anterior.
Celosías oblicuas cancelables
Una celosía sesgada es cancelable si y implica y de la misma manera y implica . Las celosías sesgadas de cancelatina son simétricas y se puede mostrar que forman una variedad. A diferencia de las celosías, no necesitan ser distributivas y viceversa.
Celosías sesgadas distributivas
Las celosías de sesgo distributivo están determinadas por las identidades: (D1) (D'1)
A diferencia de las celosías, (D1) y (D'1) no son equivalentes en general para celosías sesgadas, pero sí lo son para celosías sesgadas simétricas. [9] [12] [13] La condición (D1) se puede fortalecer para(D2) en cuyo caso (D'1) es una consecuencia. Una celosía sesgada satisface tanto (D2) como su dual, , si y solo si se factoriza como el producto de un retículo distributivo y un retículo oblicuo rectangular. En este último caso (D2) se puede reforzar para y . (D3) Por sí solo, (D3) es equivalente a (D2) cuando se suma la simetría. [3] Por lo tanto, tenemos seis subvariedades de redes de sesgo determinadas respectivamente por (D1), (D2), (D3) y sus duales.
Celosías oblicuas normales
Como se vio arriba, y satisfacer la identidad . Bandas que satisfacen la identidad más fuerte,, se llaman normales. Un entramado sesgado es un sesgo normal si satisface
Para cada elemento a en una celosía sesgada normal , el conjunto definido por { } o equivalente {} es una subred de , y por el contrario. (Por lo tanto, las celosías sesgadas normales también se han llamado celosías locales). y son normales, se divide isomórficamente en un producto de una celosía y una celosía oblicua rectangular , y por el contrario. Así, tanto las celosías sesgadas normales como las celosías sesgadas divididas forman variedades. Volviendo a la distribución, así que eso caracteriza la variedad de celosías de sesgo normal y distributivo, y (D3) caracteriza la variedad de entramados de sesgo normal, distributivo y simétrico.
Celosías de sesgo categórico
Una celosía sesgada es categórica si los compuestos no vacíos de biyecciones laterales son biyecciones laterales. Las celosías de sesgo categórico forman una variedad. Las celosías sesgadas en anillos y las celosías sesgadas normales son ejemplos de álgebras en esta variedad. [4] Deja con , y , ser la biyección lateral de a tomando a , ser la biyección lateral de a tomando a y finalmente ser la biyección lateral de a tomando a . Una celosía sesgada es categórico si uno siempre tiene la igualdad , es decir, si la biyección parcial compuesta si no vacío es una biyección lateral de un -coste de a una -coste de . Es decir. Todas las celosías de sesgo distributivo son categóricas. Aunque las celosías sesgadas simétricas pueden no serlo. En cierto sentido, revelan la independencia entre las propiedades de simetría y distributividad. [3] [4] [6] [9] [10] [11] [13] [14]
Inclinar álgebras booleanas
Un elemento cero en una red oblicua S es un elemento 0 de S tal que para todos o, dualmente, (0)
Un entramado de sesgo booleano es un entramado de sesgo normal simétrico y distributivo con 0, tal que es una celosía booleana para cada Dado tal reticulado sesgado S, un operador de diferencia \ se define por x \ y = donde este último se evalúa en la red booleana [1] En presencia de (D3) y (0), \ se caracteriza por las identidades: y (SB) Por lo tanto, uno tiene una variedad de álgebras booleanas sesgadas caracterizado por identidades (D3), (0) y (SB). Un álgebra booleana de sesgo primitivo consta de 0 y una única clase D distinta de 0. Por lo tanto, es el resultado de unir un 0 a un retículo oblicuo rectangular D a través de (0) con, Si y de lo contrario. Cada álgebra booleana sesgada es un producto subdirecto de las álgebras primitivas. Las álgebras booleanas sesgadas desempeñan un papel importante en el estudio de las variedades discriminadoras y otras generalizaciones en el álgebra universal del comportamiento booleano. [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25]
Inclinar celosías en anillos
Dejar ser un anillo y dejardenotar el conjunto de todos los idempotentes en. Para todos colocar y .
Claramente pero también es asociativo . Si un subconjunto está cerrado bajo y , luego es un entramado de sesgo distributivo y cancelativo. Para encontrar tales celosías sesgadas en uno mira bandas en , especialmente los que son máximos con respecto a alguna restricción. De hecho, cada banda multiplicativa en que es máxima con respecto a tener razón regular (=) también se cierra bajo y así forma una celosía sesgada a la derecha. En general, todas las bandas regulares de la derecha en genera una celosía sesgada hacia la derecha en . Los comentarios dobles también son válidos para las bandas regulares izquierdas (bandas que satisfacen la identidad) en . Las bandas regulares máximas no necesitan cerrarse bajocomo definido; Los contraejemplos se encuentran fácilmente usando bandas rectangulares multiplicativas. Estos casos se cierran, sin embargo, bajo la variante cúbica de definido por ya que en estos casos reduce a para dar la doble banda rectangular. Sustituyendo la condición de regularidad por normalidad, cada banda multiplicativa normal máxima en también está cerrado bajo con , dónde , forma un entramado de sesgo booleano. Cuándosi mismo está cerrado bajo la multiplicación, entonces es una banda normal y, por lo tanto, forma un entramado de sesgo booleano. De hecho, cualquier álgebra booleana sesgada se puede incrustar en tal álgebra. [26] Cuando A tiene una identidad multiplicativa, la condición de que es multiplicativamente cerrado es bien conocido por implicar que forma un álgebra de Boole. Las celosías sesgadas en los anillos siguen siendo una buena fuente de ejemplos y motivación. [23] [27] [28] [29] [30]
Celosías de sesgo primitivo
Las celosías sesgadas que constan exactamente de dos clases D se denominan celosías sesgadas primitivas. Dada una celosía tan sesgada con -clases en , luego para cualquier y , los subconjuntos
{} y {}
se llaman, respectivamente, clases laterales de A en B y clases laterales de B en A . Estas clases laterales dividen B y A con y . Los Cosets son siempre subálgebras rectangulares en su-clases. Además, el pedido parcial induce una biyección lateral definido por:
si , por y .
Colectivamente, las biyecciones laterales describen entre los subconjuntos y . También determinan y para pares de elementos de distintos -clases. De hecho, dado y , dejar ser la biyección de costes entre las clases laterales en y en . Luego:
y .
En general, dado y con y , luego pertenecen a un común - coset en y pertenecen a un común -coset en si y solo si . Así, cada biyección de clases laterales es, en cierto sentido, una colección máxima de pares mutuamente paralelos.
Cada celosía de sesgo primitivo factores como el producto fibrado de sus imágenes primitivas máximas de izquierda y derecha . Las celosías sesgadas primitivas para diestros se construyen de la siguiente manera. Dejar y Ser particiones de conjuntos no vacíos disjuntos. y , donde todos y comparten un tamaño común. Por cada par elige una biyección fija de sobre . En y establecer por separado y ; pero dado y , colocar
y
dónde y con perteneciente a la celda de y perteneciente a la celda de . Los diversosson las biyecciones laterales. Esto se ilustra en el siguiente diagrama parcial de Hasse donde y las flechas indican el -salidas y de y .
Uno construye celosías sesgadas primitivas para zurdos de forma dual. Todas las celosías primitivas sesgadas diestras [zurdas] pueden construirse de esta manera. [3]
La estructura de la clase lateral de las celosías sesgadas
Una celosía oblicua no rectangular está cubierto por sus celosías de sesgo primitivo máximas: dado comparable -clases en , forma una subálgebra primitiva máxima de y cada -clase en radica en tal subálgebra. Las estructuras laterales de estas subálgebras primitivas se combinan para determinar los resultados. y al menos cuando y son comparables bajo . Resulta que y están determinadas en general por las clases laterales y sus biyecciones, aunque de una manera un poco menos directa que las -Caso comparable. En particular, dadas dos incomparables clases D A y B con unirse a la clase D J y cumplir con la clase D en , surgen conexiones interesantes entre las dos descomposiciones de clases laterales de J (o M) con respecto a A y B. [4]
Por lo tanto, una celosía sesgada puede verse como un atlas de clase lateral de celosías oblicuas rectangulares colocadas en los vértices de una celosía y biyecciones de clase lateral entre ellas, las últimas vistas como isomorfismos parciales entre las álgebras rectangulares con cada biyección de clase lateral determinando un par correspondiente de clases laterales. Esta perspectiva da, en esencia, el diagrama de Hasse de la celosía sesgada, que se dibuja fácilmente en casos de orden relativamente pequeño. (Vea los diagramas en la Sección 3 anterior). Dada una cadena de clases D en , uno tiene tres conjuntos de biyecciones laterales: de A a B, de B a C y de A a C. En general, dadas las biyecciones laterales y , la composición de biyecciones parciales podría estar vacío. Si no es así, entonces una única biyección lateral. existe tal que . (De nuevo, es una biyección entre un par de clases laterales en y .) Esta inclusión puede ser estricta. Siempre es una igualdad (dada) en una celosía de sesgo dada S precisamente cuando S es categórico. En este caso, al incluir los mapas de identidad en cada clase D rectangular y adjuntar biyecciones vacías entre clases D adecuadamente comparables, se tiene una categoría de álgebras rectangulares y biyecciones laterales entre ellas. Los ejemplos simples de la Sección 3 son categóricos.
Ver también
- Teoría del semigrupo
- Teoría de la celosía
Referencias
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