En matemáticas , una banda (también llamada semigrupo idempotente ) es un semigrupo en el que cada elemento es idempotente (en otras palabras, igual a su propio cuadrado). Las bandas fueron estudiadas y nombradas por primera vez por AH Clifford ( 1954 ); Biryukov, Fennemore y Gerhard describieron de forma independiente el entramado de variedades de bandas a principios de la década de 1970. [1] semiretículo , que dejan a cero bandas , derecha-cero bandas , bandas rectangulares , bandas normales , dejaron regulares-bandas ,bandas derecha regulares y bandas regulares , subclases específicas de bandas que se encuentran cerca de la parte inferior de esta celosía, son de particular interés y están brevemente descritos a continuación.
Variedades de bandas
Una clase de bandas forma una variedad si se cierra bajo formación de subsemigrupos, imágenes homomórficas y producto directo . Cada variedad de bandas puede definirse mediante una única identidad definitoria . [2]
Semretículos
Las semretículas son exactamente bandas conmutativas ; es decir, son las bandas que satisfacen la ecuación
- xy = yx para todo x e y .
Las bandas inducen un pedido anticipado que puede definirse como si y solo si . Requerir conmutatividad implica que este preorden se convierte en un orden parcial (semirreticulado).
Bandas cero
Una banda izquierda-cero es una banda que satisface la ecuación
- xy = x ,
de donde su tabla Cayley tiene filas constantes.
Simétricamente, una banda de cero a la derecha es una satisfactoria
- xy = y ,
de modo que la tabla de Cayley tenga columnas constantes.
Bandas rectangulares
Una banda rectangular es una banda S que satisface
- xyx = x para todo x , y ∈ S ,
o equivalente,
- xyz = xz para todo x , y , z ∈ S ,
La segunda caracterización claramente implica la primera y, a la inversa, la primera implica xyz = xy ( zxz ) = ( x ( yz ) x ) z = xz .
Existe una clasificación completa de bandas rectangulares. Dados conjuntos arbitrarios I y J, se puede definir una operación de semigrupo en I × J estableciendo
El semigrupo resultante es una banda rectangular porque
- para cualquier par ( i , j ) tenemos ( i , j ) · ( i , j ) = ( i , j )
- para dos pares cualesquiera ( i x , j x ) , ( i y , j y ) tenemos
De hecho, cualquier banda rectangular es isomorfa a una de las formas anteriores (ya sea está vacío, o elige cualquier elemento , y entonces () define un isomorfismo ). Las bandas izquierda-cero y derecha-cero son bandas rectangulares y, de hecho, cada banda rectangular es isomorfa a un producto directo de una banda izquierda-cero y una banda derecha-cero. Todas las bandas rectangulares de orden principal son bandas cero, ya sea a la izquierda o a la derecha. Se dice que una banda rectangular es puramente rectangular si no es una banda de cero a la izquierda o cero a la derecha. [3]
En lenguaje categórico , se puede decir que la categoría de bandas rectangulares no vacías es equivalente a, dónde es la categoría con conjuntos no vacíos como objetos y funciones como morfismos. Esto implica no solo que cada banda rectangular no vacía es isomorfa a una que proviene de un par de conjuntos, sino que también estos conjuntos están determinados de forma única hasta un isomorfismo canónico, y todos los homomorfismos entre bandas provienen de pares de funciones entre conjuntos. [4] Si el conjunto I está vacío en el resultado anterior, la banda rectangular I × J es independiente de J , y viceversa. Esta es la razón por la que el resultado anterior solo da una equivalencia entre bandas rectangulares no vacías y pares de conjuntos no vacíos.
Las bandas rectangulares también son las T -álgebras, donde T es la mónada en el Conjunto con T ( X ) = X × X , T ( f ) = f × f , siendo el mapa diagonal , y .
Bandas normales
Una banda normal es una banda S satisfactoria
- zxyz = zyxz para todos x , y , y z ∈ S .
Esta es la misma ecuación utilizada para definir los magmas medial , por lo que una banda normal también puede llamarse banda medial, y las bandas normales son ejemplos de magmas medial. [3] También podemos decir que una banda normal es una banda S satisfactoria
- axyb = ayxb para todos un , b , x , y y ∈ S .
Bandas regulares izquierdas
Una banda regular izquierda es una banda S satisfactoria
- xyx = xy para todo x , y ∈ S
Si tomamos un semigrupo y definimos a ≤ b si y solo si ab = b , obtenemos un orden parcial si y solo si este semigrupo es una banda regular a la izquierda. Por tanto, las bandas regulares a la izquierda aparecen de forma natural en el estudio de los posets . [5]
Bandas regulares derechas
Una banda derecha-regular es una banda S satisfactoria
- xyx = yx para todo x , y ∈ S
Cualquier banda derecha-regular se convierte en una banda izquierda-regular usando el producto opuesto. De hecho, cada variedad de bandas tiene una versión "opuesta"; esto da lugar a la simetría de reflexión en la figura siguiente.
Bandas regulares
Una banda regular es una banda S satisfactoria
- zxzyz = zxyz para todo x , y , z ∈ S
Celosía de variedades
Cuando se ordenan parcialmente por inclusión, las variedades de bandas forman naturalmente un enrejado , en el que la unión de dos variedades es su intersección y la unión de dos variedades es la variedad más pequeña que las contiene a ambas. Se conoce la estructura completa de esta celosía; en particular, es contable , completo y distributivo . [1] La subred que consta de las 13 variedades de bandas regulares se muestra en la figura. Las variedades de bandas de cero a la izquierda, semirretículas y bandas de cero a la derecha son los tres átomos (elementos mínimos no triviales) de esta red.
Cada variedad de bandas que se muestra en la figura está definida por una sola identidad. Esto no es una coincidencia: de hecho, cada variedad de bandas puede definirse mediante una única identidad. [1]
Ver también
- Anillo booleano , un anillo en el que cada elemento es (multiplicativamente) idempotente
- En ninguna parte semigrupo conmutativo
- Clases especiales de semigrupos
- Semigrupo ortodoxo
- Autómata celular reversible § Autómatas unidimensionales
Notas
- ↑ a b c Biryukov (1970) ; Fennemore (1970) ; Gerhard (1970) ; Gerhard y Petrich (1989) .
- ^ Fennemore (1970) .
- ↑ a b Yamada (1971) .
- ^ Howie (1995) .
- ^ Marrón (2000) .
Referencias
- Biryukov, AP (1970), "Varieties of idempotent semigroups", Algebra and Logic , 9 (3): 153-164, doi : 10.1007 / BF02218673.
- Brown, Ken (2000), "Semigrupos, anillos y cadenas de Markov", J. Theoret. Probab. , 13 : 871–938, arXiv : math / 0006145 , Bibcode : 2000math ...... 6145B.
- Clifford, Alfred Hoblitzelle (1954), "Bands of semigroups", Proceedings of the American Mathematical Society , 5 : 499–504, doi : 10.1090 / S0002-9939-1954-0062119-9 , MR 0062119.
- Clifford, Alfred Hoblitzelle ; Preston, Gordon Bamford (1972), La teoría algebraica de los semigrupos , Moscú: Mir.
- Fennemore, Charles (1970), "Todas las variedades de bandas", Semigroup Forum , 1 (1): 172-179, doi : 10.1007 / BF02573031.
- Gerhard, JA (1970), "La red de clases ecuacionales de semigrupos idempotentes", Journal of Algebra , 15 (2): 195-224, doi : 10.1016 / 0021-8693 (70) 90073-6 , hdl : 10338.dmlcz / 128238.
- Gerhard, JA; Petrich, Mario (1989), "Varieties of bands revisited", Proceedings of the London Mathematical Society , 3 : 323–350, doi : 10.1112 / plms / s3-58.2.323.
- Howie, John M. (1995), Fundamentos de la teoría del semigrupo , Oxford U. Press, ISBN 978-0-19-851194-6.
- Nagy, Attila (2001), Clases especiales de semigrupos , Dordrecht: Kluwer Academic Publishers , ISBN 0-7923-6890-8.
- Yamada, Miyuki (1971), "Note on exclusive semigroups", Semigroup Forum , 3 (1): 160–167, doi : 10.1007 / BF02572956.