En matemáticas , específicamente en el campo del álgebra , las álgebras de Sklyanin son una clase de álgebra no conmutativa que lleva el nombre de Evgeny Sklyanin . Esta clase de álgebras se estudió por primera vez en la clasificación de las álgebras regulares [1] de Artin-Schelter de dimensión global 3 en la década de 1980. [2] Las álgebras de Sklyanin se pueden agrupar en dos tipos diferentes, las álgebras de Sklyanin no degeneradas y las álgebras de Sklyanin degeneradas , que tienen propiedades muy diferentes. La necesidad de comprender mejor las álgebras de Sklyanin no degeneradas ha llevado al desarrollo del estudio de módulos puntuales engeometría no conmutativa . [2]
Definicion formal
Dejar ser un campo con una raíz cúbica primitiva de unidad . Dejarser el siguiente subconjunto del plano proyectivo :
Cada punto da lugar a un álgebra de Sklyanin (cuadrática tridimensional),
dónde,
Cuando sea nosotros llamamos un álgebra Sklyanin degenerada y siempre quedecimos que el álgebra no es degenerada. [3]
Propiedades
El caso no degenerado comparte muchas propiedades con el anillo polinomial conmutativo , mientras que el caso degenerado no disfruta de casi ninguna de estas propiedades. Generalmente, las álgebras de Sklyanin no degeneradas son más difíciles de entender que sus contrapartes no degeneradas.
Propiedades de las álgebras Sklyanin degeneradas
Dejar ser un álgebra Sklyanin degenerada.
- contiene divisores de cero distintos de cero . [4]
- La serie Hilbert de es . [4]
- Las álgebras Sklyanin degeneradas tienen una dimensión Gelfand-Kirillov infinita . [4]
- no es noetheriano de izquierda ni de derecha . [4]
- es un álgebra de Koszul . [4]
- Las álgebras Sklyanin degeneradas tienen una dimensión global infinita . [4]
Propiedades de las álgebras de Sklyanin no degeneradas
Dejar ser un álgebra Sklyanin no degenerada.
- no contiene divisores de cero distintos de cero . [5]
- La serie de hilbert de es . [5]
- Las álgebras Sklyanin no degeneradas son noetherianas . [5]
- es Koszul . [5]
- Las álgebras Sklyanin no degeneradas son Artin-Schelter [1] regulares. [5] Por lo tanto, tienen una dimensión global 3 y una dimensión Gelfand-Kirillov 3. [1]
- Existe un elemento central normal en cada álgebra de Sklyanin no degenerada. [6]
Ejemplos de
Álgebras Sklyanin degeneradas
El subconjunto consta de 12 puntos en el plano proyectivo , que dan lugar a 12 expresiones de álgebras Sklyanin degeneradas. Sin embargo, algunos de estos son isomorfos y existe una clasificación de álgebras Sklyanin degeneradas en dos casos diferentes. Dejar ser un álgebra Sklyanin degenerada.
- Si luego es isomorfo a, que es el álgebra de Sklyanin correspondiente al punto .
- Si luego es isomorfo a, que es el álgebra de Sklyanin correspondiente al punto . [3]
Estos dos casos son giros de Zhang el uno del otro [3] y, por lo tanto, tienen muchas propiedades en común. [7]
Álgebras de Sklyanin no degeneradas
El anillo polinomial conmutativo es isomorfo al álgebra de Sklyanin no degenerada y por lo tanto es un ejemplo de un álgebra Sklyanin no degenerada.
Módulos de puntos
El estudio de módulos de puntos es una herramienta útil que se puede utilizar mucho más que solo para las álgebras de Sklyanin. Los módulos de puntos son una forma de encontrar geometría proyectiva en la estructura subyacente de anillos graduados no conmutativos . Originalmente, el estudio de módulos de puntos se aplicó para mostrar algunas de las propiedades de las álgebras de Sklyanin no degeneradas. Por ejemplo, para encontrar su serie de Hilbert y determinar que las álgebras de Sklyanin no degeneradas no contienen divisores cero . [2]
Álgebras de Sklyanin no degeneradas
Cuando sea y en la definición de un álgebra Sklyanin no degenerada , los módulos de puntos de están parametrizados por una curva elíptica . [2] Si los parámetrosno satisfacen esas restricciones, los módulos de puntos de cualquier álgebra Sklyanin no degenerada todavía están parametrizados por una variedad proyectiva cerrada en el plano proyectivo . [8] Sies un álgebra de Sklyanin cuyos módulos de puntos están parametrizados por una curva elíptica , entonces existe un elemento que aniquila todos los módulos de puntos, es decir para todos los módulos de puntos de .
Álgebras Sklyanin degeneradas
Los módulos de puntos de álgebras Sklyanin degeneradas no están parametrizados por una variedad proyectiva . [4]
Referencias
- ^ a b c Artin, Michael; Schelter, William F. (1 de noviembre de 1987). "Álgebras graduadas de dimensión global 3" . Avances en Matemáticas . 66 (2): 171–216. doi : 10.1016 / 0001-8708 (87) 90034-X . ISSN 0001-8708 .
- ^ a b c d Rogalski, D. (12 de marzo de 2014). "Una introducción a la geometría proyectiva no conmutativa". arXiv : 1403.3065 [ math.RA ].
- ^ a b c Smith, S. Paul (26 de diciembre de 2011). "Álgebras Sklyanin tridimensionales degeneradas son álgebras monomiales". arXiv : 1112.5809 [ math.RA ].
- ^ a b c d e f g Walton, Chelsea (23 de diciembre de 2011). "Álgebras de Sklyanin degeneradas y anillos de coordenadas homogéneas retorcidas generalizadas". J. Álgebra . 322 (7): 2508-2527. arXiv : 0812.0609 . doi : 10.1016 / j.jalgebra.2009.02.024 .
- ^ a b c d e Tate, John; van den Bergh, Michel (1 de enero de 1996). "Propiedades homológicas de las álgebras de Sklyanin" . Inventiones Mathematicae . 124 (1): 619–648. Código Bibliográfico : 1996InMat.124..619T . doi : 10.1007 / s002220050065 . ISSN 1432-1297 .
- ^ De Laet, Kevin (19 de diciembre de 2016). "En el centro de las álgebras de Sklyanin tridimensionales y tetradimensionales". arXiv : 1612.06158 [ math.RA ].
- ^ Zhang, JJ (1996). "Álgebras graduadas retorcidas y equivalencias de categorías graduadas" . Actas de la London Mathematical Society . s3-72 (2): 281–311. doi : 10.1112 / plms / s3-72.2.281 . hdl : 2027,42 / 135651 . ISSN 1460-244X .
- ^ Artin, Michael; Tate, John; Van den Bergh, M. (2007), Cartier, Pierre; Illusie, Luc; Katz, Nicholas M .; Laumon, Gérard (eds.), "Algunas álgebras asociadas a automorfismos de curvas elípticas" , The Grothendieck Festschrift: Una colección de artículos escritos en honor del 60 cumpleaños de Alexander Grothendieck , Progress in Mathematics, Boston, MA: Birkhäuser, pp. 33–85, doi : 10.1007 / 978-0-8176-4574-8_3 , ISBN 978-0-8176-4574-8, consultado el 28 de abril de 2021