En la teoría de anillos , una rama de las matemáticas, el teorema de Skolem-Noether caracteriza los automorfismos de anillos simples . Es un resultado fundamental en la teoría de álgebras simples centrales .
El teorema fue publicado por primera vez por Thoralf Skolem en 1927 en su artículo Zur Theorie der assoziativen Zahlensysteme ( alemán : Sobre la teoría de los sistemas numéricos asociativos ) y luego redescubierto por Emmy Noether .
Declaración
En una formulación general, permiten A y B sean anillos unitarios simples, y dejar que k sea el centro de B . El centro k es un campo dado que dado x distinto de cero en k , la simplicidad de B implica que el ideal de dos lados distinto de cero BxB = (x) es la totalidad de B , y por lo tanto que x es una unidad . Si la dimensión de B sobre k es finita, es decir, si B es un álgebra central simple de dimensión finita, y A es también un k -álgebra, entonces se dan homomorfismos de k -álgebra
- f , g : A → B ,
existe una unidad b en B tal que para todo a en A [1] [2]
- g ( a ) = b · f ( a ) · b −1 .
En particular, todo automorfismo de un álgebra k simple central es un automorfismo interno . [3] [4]
Prueba
Primero suponga . Entonces f y g definir las acciones de A en; dejardenotar los módulos A así obtenidos. Desdeel mapa f es inyectivo por la simplicidad de A , por lo que A también es de dimensión finita. Por tanto, dos módulos A simples son isomorfos yson sumas directas finitas de módulos A simples. Dado que tienen la misma dimensión, se deduce que existe un isomorfismo de los módulos A. Pero tal b debe ser un elemento de. Para el caso general, es un álgebra matricial y que es simple. Por la primera parte aplicada a los mapas, existe tal que
para todos y . Tomando, encontramos
para todo z . Es decir, b está en y entonces podemos escribir . Tomando esta vez encontramos
- ,
que es lo que se buscaba.
Notas
Referencias
- Skolem, Thoralf (1927). "Zur Theorie der assoziativen Zahlensysteme". Skrifter Oslo (en alemán) (12): 50. JFM 54.0154.02 .
- Una discusión en el Capítulo IV de Milne , teoría de campo de clases [1]
- Gille, Philippe; Szamuely, Tamás (2006). Álgebras simples centrales y cohomología de Galois . Estudios de Cambridge en Matemáticas Avanzadas. 101 . Cambridge: Cambridge University Press . ISBN 0-521-86103-9. Zbl 1137.12001 .
- Lorenz, Falko (2008). Álgebra. Volumen II: Campos con Estructura, Álgebras y Temas Avanzados . Saltador. ISBN 978-0-387-72487-4. Zbl 1130.12001 .