Conjetura de Smale

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La conjetura de Smale , llamada así por Stephen Smale , es la afirmación de que el grupo de difeomorfismo de las 3 esferas tiene el tipo de homotopía de su grupo de isometría, el grupo ortogonal O(4) . Fue probado en 1983 por Allen Hatcher . ^[1]

Hay varios enunciados equivalentes de la conjetura de Smale. Una es que el componente del desanudado en el espacio de incrustaciones suaves del círculo en el espacio tridimensional tiene el tipo de homotopía de los círculos redondos, equivalentemente, O(3) . Otro enunciado equivalente es que el grupo de difeomorfismos de la bola 3 que se restringen a la identidad en el límite es contráctil.

A veces también se entiende la afirmación (falsa) de que la inclusión es una equivalencia débil para todos cuando se hace referencia a la conjetura de Smale. Para ella esto es fácil, pues el mismo Smale lo demostró. ^[2]${\displaystyle O(n+1)\to {\text{Dif.}}(S^{n})}$${\ estilo de visualización n}$${\ estilo de visualización n = 1}$${\ estilo de visualización n = 2}$

Porque la conjetura es falsa debido a que no es contráctil ^[3]${\ estilo de visualización n \ geq 5}$${\displaystyle {\text{Diferencia}}(S^{n})}$

A fines de 2018, Tadayuki Watanabe publicó una preimpresión que prueba el fracaso de la conjetura de Smale en el caso de 4 dimensiones restante ^[4] basándose en el trabajo en torno a la integral de Kontsevich , una generalización de la integral de enlace de Gauss . A partir de 2021, la prueba permanece inédita en una revista matemática.

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