En matemáticas , el grupo ortogonal en la dimensión n , denotado O ( n ) , es el grupo de transformaciones que preservan la distancia de un espacio euclidiano de dimensión n que preservan un punto fijo, donde la operación de grupo viene dada por la composición de transformaciones. El grupo ortogonal a veces se denomina grupo ortogonal general , por analogía con el grupo lineal general . De manera equivalente, es el grupo de n × n matrices ortogonales , donde la operación de grupo está dada pormultiplicación de matrices (una matriz ortogonal es una matriz real cuya inversa es igual a su transpuesta ). El grupo ortogonal es un grupo algebraico y un grupo de Lie . Es compacto .
El grupo ortogonal en la dimensión n tiene dos componentes conectados . El que contiene el elemento de identidad es un subgrupo, llamado grupo ortogonal especial y denotado SO ( n ) . Consiste en todas las matrices ortogonales del determinante 1 . Este grupo también se denomina grupo de rotación , generalizando el hecho de que en las dimensiones 2 y 3, sus elementos son las rotaciones habituales alrededor de un punto (en la dimensión 2) o una línea (en la dimensión 3). En baja dimensión, estos grupos han sido ampliamente estudiados, ver SO (2) , SO (3) y SO (4) . En el otro componente conectado, todas las matrices ortogonales tienen –1 como determinante.
Por extensión, para cualquier campo F , un n × n matriz con entradas en F de tal manera que su inversa es igual a su transpuesta se llama una matriz ortogonal sobre F . Las n × n matrices ortogonales forman un subgrupo, denotado O ( n , F ) , del grupo lineal general GL ( n , F ) ; es decir
De manera más general, dada una forma bilineal simétrica no degenerada o una forma cuadrática [1] en un espacio vectorial sobre un campo , el grupo ortogonal de la forma es el grupo de mapas lineales invertibles que preservan la forma. Los grupos ortogonales precedentes son el caso especial en el que, de alguna manera, la forma bilineal es el producto escalar o, de manera equivalente, la forma cuadrática es la suma del cuadrado de las coordenadas.
Todos los grupos ortogonales son grupos algebraicos , ya que la condición de preservar una forma se puede expresar como igualdad de matrices.
Nombre
El nombre de "grupo ortogonal" se origina en la siguiente caracterización de sus elementos. Dado un espacio vectorial euclidiano E de dimensión n , los elementos del grupo ortogonal O ( n ) son, hasta una escala uniforme ( homotecia ), los mapas lineales de E a E que asignan vectores ortogonales a vectores ortogonales.
En geometría euclidiana
El grupo ortogonal O ( n ) es el subgrupo del grupo lineal general GL ( n , R ) , formado por todos los endomorfismos que conservan la norma euclidiana , es decir, los endomorfismos g tales que
Sea E ( n ) el grupo de isometrías euclidianas de un espacio euclidiano S de dimensión n . Este grupo no depende de la elección de un espacio en particular, ya que todos los espacios euclidianos de la misma dimensión son isomorfos . El subgrupo estabilizador de un punto x ∈ S es el subgrupo de los elementos g ∈ E ( n ) tales que g ( x ) = x . Este estabilizador es (o, más exactamente, isomorfo a) O ( n ) , ya que la elección de un punto como origen induce un isomorfismo entre el espacio euclidiano y su espacio vectorial euclidiano asociado.
Hay un homomorfismo de grupo natural p de E ( n ) a O ( n ) , que se define por
donde, como es habitual, la resta de dos puntos denota el vector de traslación que asigna el segundo punto al primero. Este es un homomorfismo bien definido, ya que una verificación sencilla muestra que, si dos pares de puntos tienen la misma diferencia, lo mismo es cierto para sus imágenes por g (para más detalles, vea Espacio afín § Resta y axiomas de Weyl ).
El núcleo de p es el espacio vectorial de las traducciones. Entonces, la traducción forma un subgrupo normal de E ( n ) , los estabilizadores de dos puntos se conjugan bajo la acción de las traducciones y todos los estabilizadores son isomorfos a O ( n ) .
Además, el grupo euclidiano es un producto semidirecto de O ( n ) y el grupo de traducciones. De ello se deduce que el estudio del grupo euclidiano se reduce esencialmente al estudio de O ( n ) .
SO ( n )
Al elegir una base ortonormal de un espacio vectorial euclidiano, el grupo ortogonal se puede identificar con el grupo (en multiplicación de matrices ) de matrices ortogonales , que son las matrices tales que
De esta ecuación se deduce que el cuadrado del determinante de Q es igual a 1 y, por tanto, el determinante de Q es 1 o –1 . Las matrices ortogonales con determinante 1 forman un subgrupo denominado grupo ortogonal especial , denominado SO ( n ) , formado por todas las isometrías directas de O ( n ) , que son las que conservan la orientación del espacio.
SO ( n ) es un subgrupo normal de O ( n ) , como núcleo del determinante, que es un homomorfismo de grupo cuya imagen es el grupo multiplicativo {–1, +1}. Además, el grupo ortogonal es un producto semidirecto de SO ( n ) y el grupo con dos elementos, ya que, dada cualquier reflexión r , uno tiene O ( n ) \ SO ( n ) = r SO ( n ) .
El grupo con dos elementos {± I } (donde I es la matriz identidad) es un subgrupo normal e incluso un subgrupo característico de O ( n ) y, si n es par, también de SO ( n ) . Si n es impar, O ( n ) es el producto directo interno de SO ( n ) y {± I }. Para cada entero positivo k, el grupo cíclico C k de k rotaciones es un subgrupo normal de O (2) y SO (2) .
Forma canónica
Para cualquier elemento de O ( n ) existe una base ortogonal, donde su matriz tiene la forma
donde las matrices R 1 , ..., R k son matrices de rotación 2 por 2, es decir, matrices de la forma
con
Esto resulta del teorema espectral al reagrupar los valores propios que son conjugados complejos y teniendo en cuenta que los valores absolutos de los valores propios de una matriz ortogonal son todos iguales a 1.
El elemento pertenece a SO ( n ) si y solo si hay un número par de –1 en la diagonal.
El caso especial de n = 3 se conoce como el teorema de la rotación de Euler , que afirma que cada elemento (no identidad) de SO (3) es una rotación alrededor de un par eje-ángulo único.
Reflexiones
Los reflejos son los elementos de O ( n ) cuya forma canónica es
donde I es la matriz identidad ( n –1) × ( n –1) , y los ceros denotan matrices cero de fila o columna. En otras palabras, un reflejo es una transformación que transforma el espacio en su imagen especular con respecto a un hiperplano .
En la dimensión dos, cada rotación es el producto de dos reflejos . Más precisamente, una rotación de ángulo 𝜃 es el producto de dos reflexiones cuyos ejes tienen un ángulo de 𝜃 / 2 .
Cada elemento de O ( n ) es el producto de como máximo n reflexiones. Esto resulta inmediatamente de la forma canónica anterior y del caso de la dimensión dos.
El teorema de Cartan-Dieudonné es la generalización de este resultado al grupo ortogonal de una forma cuadrática no degenerada sobre un campo de característica diferente de dos.
La reflexión a través del origen (el mapa v ↦ - v ) es un ejemplo de un elemento de O ( n ) que no es el producto de menos de n reflexiones.
Grupo de simetría de esferas
El grupo ortogonal O ( n ) es el grupo de simetría de la ( n - 1) -esfera (para n = 3 , esta es solo la esfera ) y todos los objetos con simetría esférica, si el origen se elige en el centro.
El grupo de simetría de un círculo es O (2) . El subgrupo SO (2) que conserva la orientación es isomorfo (como un grupo de Lie real ) al grupo circular , también conocido como U (1) , el grupo multiplicativo de los números complejos de valor absoluto igual a uno. Este isomorfismo envía el número complejo exp ( φ i ) = cos ( φ ) + i sin ( φ ) de valor absoluto 1 a la matriz ortogonal especial
En una dimensión superior, O ( n ) tiene una estructura más complicada (en particular, ya no es conmutativa). Las estructuras topológicas de la n -esfera y O ( n ) están fuertemente correlacionadas, y esta correlación se usa ampliamente para estudiar ambos espacios topológicos .
Estructura de grupo
Los grupos O ( n ) y SO ( n ) son grupos de Lie compactos reales de dimensión n ( n - 1) / 2 . El grupo O ( n ) tiene dos componentes conectados , siendo SO ( n ) el componente de identidad , es decir, el componente conectado que contiene la matriz de identidad .
Como grupos algebraicos
El grupo ortogonal O ( n ) se puede identificar con el grupo de las matrices A tal queDado que ambos miembros de esta ecuación son matrices simétricas , esto proporciona ecuaciones que las entradas de una matriz ortogonal deben satisfacer, y que no todas son satisfechas por las entradas de cualquier matriz no ortogonal.
Esto prueba que O ( n ) es un conjunto algebraico . Además, se puede demostrar que su dimensión es
lo que implica que O ( n ) es una intersección completa . Esto implica que todos sus componentes irreductibles tienen la misma dimensión y que no tiene ningún componente incrustado . De hecho, O ( n ) tiene dos componentes irreductibles, que se distinguen por el signo del determinante (es decir, det ( A ) = 1 o det ( A ) = –1 ). Ambas son variedades algebraicas no singulares de la misma dimensión n ( n - 1) / 2 . El componente con det ( A ) = 1 es SO ( n ) .
Grupos tori máximos y Weyl
Un toro máximo en un grupo de Lie compacto G es un subgrupo máximo entre los que son isomorfos a T k para algún k , donde T = SO (2) es el toro unidimensional estándar. [2]
En O (2 n ) y SO (2 n ) , para cada toro máximo, existe una base sobre la cual el toro consiste en las matrices diagonales en bloque de la forma
donde cada R j pertenece a SO (2) . En O (2 n + 1) y SO (2 n + 1) , los toros máximos tienen la misma forma, bordeados por una fila y una columna de ceros, y 1 en la diagonal.
El grupo Weyl de SO (2 n + 1) es el producto semidirecto de una normal de abelian elemental 2-subgrupo y un grupo simétrico , donde el elemento no trivial de cada {± 1 } factor de la {± 1} n actúa sobre el correspondiente factor de círculo de T × {1 } por inversión , y el grupo simétrico S n actúa tanto en {± 1} n como en T × {1 } permutando factores. Los elementos del grupo Weyl están representados por matrices en O (2 n ) × {± 1 }. El factor S n está representado por matrices de permutación de bloques con bloques de 2 por 2 y un 1 final en la diagonal. El componente {± 1} n está representado por matrices diagonales de bloque con bloques de 2 por 2 ya sea
con el último componente ± 1 elegido para hacer el determinante 1.
El grupo Weyl de SO (2 n ) es el subgrupodel de SO (2 n + 1) , donde H n −1 <{± 1} n es el núcleo del producto homomorfismo {± 1} n → {± 1 } dado por; es decir, H n −1 <{± 1} n es el subgrupo con un número par de signos menos. El grupo Weyl de SO (2 n ) está representado en SO (2 n ) por las preimágenes bajo la inyección estándar SO (2 n ) → SO (2 n + 1) de los representantes del grupo Weyl de SO (2 n + 1) . Aquellas matrices con un número impar delos bloques no tienen una coordenada -1 final restante para hacer que sus determinantes sean positivos y, por lo tanto, no se pueden representar en SO (2 n ) .
Topología
Topología de baja dimensión
Los grupos ortogonales de baja dimensión (reales) son espacios familiares :
- O (1) = S 0 , un espacio discreto de dos puntos
- SO (1) = {1}
- SO (2) es S 1
- SO (3) es R P 3 [3]
- SO (4) está doblemente cubierto por SU (2) × SU (2) = S 3 × S 3 .
Grupo fundamental
En términos de topología algebraica , para n > 2 el grupo fundamental de SO ( n , R ) es cíclico de orden 2 , [4] y el grupo de espín Spin ( n ) es su cobertura universal . Para n = 2, el grupo fundamental es cíclico infinito y la cobertura universal corresponde a la línea real (el grupo Spin (2) es la única cubierta doble conectada ).
Grupos de homotopía
Generalmente, los grupos de homotopía π k ( O ) del grupo ortogonal real están relacionados con los grupos de homotopía de esferas y, por lo tanto, en general son difíciles de calcular. Sin embargo, se pueden calcular los grupos de homotopía del grupo ortogonal estable (también conocido como el grupo ortogonal infinito), definido como el límite directo de la secuencia de inclusiones:
Dado que todas las inclusiones están cerradas, por lo tanto, cofibraciones , esto también se puede interpretar como una unión. Por otro lado, S n es un espacio homogéneo para O ( n + 1) , y uno tiene el siguiente haz de fibras :
que puede entenderse como "El grupo ortogonal O ( n + 1) actúa transitivamente sobre la esfera unitaria S n , y el estabilizador de un punto (pensado como un vector unitario ) es el grupo ortogonal del complemento perpendicular , que es un grupo ortogonal una dimensión más baja. Por lo tanto, la inclusión natural O ( n ) → O ( n + 1) está conectada ( n - 1) , por lo que los grupos de homotopía se estabilizan y π k (O ( n + 1)) = π k (O ( n )) para n > k + 1 : así, los grupos de homotopía del espacio estable son iguales a los grupos de homotopía inferiores de los espacios inestables.
De la periodicidad de Bott obtenemos Ω 8 O ≅ O , por lo tanto, los grupos de homotopía de O son 8 veces periódicos, lo que significa π k + 8 ( O ) = π k ( O ) , y solo es necesario enumerar los 8 grupos de homotopía inferiores:
Relación con la teoría del KO
A través de la construcción de agarre, los grupos de homotopía del espacio estable O se identifican con paquetes de vectores estables en esferas ( hasta isomorfismo ), con un cambio de dimensión de 1: π k ( O ) = π k + 1 ( BO ) . Configurando KO = BO × Z = Ω −1 O × Z (para hacer que π 0 encaje en la periodicidad), se obtiene:
Cálculo e interpretación de grupos de homotopía.
Grupos de baja dimensión
Los primeros grupos de homotopía se pueden calcular utilizando las descripciones concretas de grupos de baja dimensión.
- π 0 ( O ) = π 0 (O (1)) = Z / 2 Z , de orientación -preservar / invertir (esta clase sobrevive a O (2) y por lo tanto de manera estable)
- π 1 ( O ) = π 1 (SO (3)) = Z / 2 Z , que es spin proviene de SO (3) = R P 3 = S 3 / ( Z / 2 Z ) .
- π 2 ( O ) = π 2 (SO (3)) = 0 , que se sobreyecta sobre π 2 (SO (4)) ; este último desaparece así.
Grupos de mentiras
De los hechos generales sobre los grupos de Lie , π 2 ( G ) siempre desaparece, y π 3 ( G ) es libre ( abeliano libre ).
Paquetes de vectores
Desde el punto de vista del paquete de vectores, π 0 ( K O) son paquetes de vectores sobre S 0 , que son dos puntos. Por lo tanto, sobre cada punto, el paquete es trivial, y la no trivialidad del paquete es la diferencia entre las dimensiones de los espacios vectoriales sobre los dos puntos, por lo que π 0 ( K O) = Z es la dimensión .
Espacios de bucle
Usando descripciones concretas de los espacios de bucle en la periodicidad de Bott , se pueden interpretar las homotopías superiores de O en términos de homotopías de orden inferior más fáciles de analizar. Usando π 0 , O y O / U tienen dos componentes, K O = B O × Z y K Sp = B Sp × Z tienen innumerables componentes, y el resto están conectados.
Interpretación de grupos de homotopía
En pocas palabras: [5]
- π 0 ( K O) = Z es aproximadamente dimensión
- π 1 ( K O) = Z / 2 Z se trata de orientación
- π 2 ( K O) = Z / 2 Z se trata de girar
- π 4 ( K O) = Z trata sobre la teoría de campos cuánticos topológicos .
Sea R cualquiera de las cuatro álgebras de división R , C , H , O , y sea L R el haz de líneas tautológicas sobre la línea proyectiva R P 1 , y [ L R ] su clase en la teoría K. Teniendo en cuenta que R P 1 = S 1 , C P 1 = S 2 , H P 1 = S 4 , O P 1 = S 8 , estos producen paquetes de vectores sobre las esferas correspondientes, y
- π 1 ( K O) es generado por [ L R ]
- π 2 ( K O) es generado por [ L C ]
- π 4 ( K O) es generado por [ L H ]
- π 8 ( K O) es generado por [ L O ]
Desde el punto de vista de la geometría simpléctica , π 0 ( K O) ≅ π 8 ( K O) = Z se puede interpretar como el índice de Maslov , pensando en él como el grupo fundamental π 1 (U / O) del Lagrangiano estable. Grassmanniano como U / O ≅ Ω 7 ( K O) , entonces π 1 (U / O) = π 1 + 7 ( K O) .
Torre Whitehead
El grupo ortogonal ancla una torre Whitehead :
que se obtiene eliminando (matando) sucesivamente grupos de homotopía de orden creciente. Esto se hace mediante la construcción de secuencias cortas y exactas que comienzan con un espacio de Eilenberg-MacLane para eliminar el grupo de homotopía. Las primeras entradas en la torre son el grupo de giro y el grupo de cuerdas , y están precedidas por el grupo de cinco marcas . Los grupos de homotopía que mueren son a su vez π 0 ( O ) para obtener SO de O , π 1 ( O ) para obtener Spin de SO , π 3 ( O ) para obtener String de Spin , y luego π 7 ( O ) y así sucesivamente para obtener las branas de orden superior .
De forma cuadrática indefinida sobre los reales
Sobre los números reales, las formas cuadráticas no degeneradas se clasifican por la ley de inercia de Sylvester , que afirma que, en un espacio vectorial de dimensión n , dicha forma se puede escribir como la diferencia de una suma de p cuadrados y una suma de q cuadrados, con p + q = n . En otras palabras, existe una base sobre la cual la matriz de la forma cuadrática es una matriz diagonal , con p entradas iguales a 1 y q entradas iguales a –1 . El par ( p , q ) llamado inercia , es una invariante de la forma cuadrática, en el sentido de que no depende de la forma de calcular la matriz diagonal.
El grupo ortogonal de una forma cuadrática depende solo de la inercia y, por lo tanto, generalmente se denota O ( p , q ) . Además, como una forma cuadrática y su opuesto tienen el mismo grupo ortogonal, uno tiene O ( p , q ) = O ( q , p ) .
El grupo ortogonal estándar es O ( n ) = O ( n , 0) = O (0, n ) . Entonces, en el resto de esta sección, se supone que ni p ni q son cero.
El subgrupo de las matrices del determinante 1 en O ( p , q ) se denota SO ( p , q ) . El grupo O ( p , q ) tiene cuatro componentes conectados, dependiendo de si un elemento conserva la orientación en cualquiera de los dos subespacios máximos donde la forma cuadrática es definida positiva o definida negativa. El componente de la identidad, cuyos elementos conservan la orientación en ambos subespacios, se denota SO + ( p , q ) .
El grupo O (3, 1) es el grupo de Lorentz fundamental en la teoría de la relatividad . Aquí el 3 corresponde a las coordenadas espaciales y el 1 corresponde a la coordenada del tiempo.
De formas cuadráticas complejas
Sobre el campo C de números complejos , toda forma cuadrática no degenerada en n variables es equivalente a. Thus, up to isomorphism, there is only one non-degenerate complex quadratic space of dimension n, and one associated orthogonal group, usually denoted O(n, C). It is the group of complex orthogonal matrices, complex matrices whose product with their transpose is the identity matrix.
As in the real case, O(n, C) has two connected components. The component of the identity consists of all matrices of determinant 1 in O(n, C); it is denoted SO(n, C).
The groups O(n, C) and SO(n, C) are complex Lie groups of dimension n(n − 1)/2 over C (the dimension over R is twice that). For n ≥ 2, these groups are noncompact. As in the real case, SO(n, C) is not simply connected: For n > 2, the fundamental group of SO(n, C) is cyclic of order 2, whereas the fundamental group of SO(2, C) is Z.
Sobre campos finitos
Characteristic different from two
Over a field of characteristic different from two, two quadratic forms are equivalent if their matrices are congruent, that is if a change of basis transforms the matrix of the first form into the matrix of the second form. Two equivalent quadratic forms have clearly the same orthogonal group.
The non-degenerate quadratic forms over a finite field of characteristic different from two are completely classified into congruence classes, and it results from this classification that there is only one orthogonal group in odd dimension and two in even dimension.
More precisely, Witt's decomposition theorem asserts that (in characteristic different from two) every vector space equipped with a non-degenerate quadratic form Q can be decomposed as a direct sum of pairwise orthogonal subspaces
where each Li is a hyperbolic plane (that is there is a basis such that the matrix of the restriction of Q to Li has the form ), and the restriction of Q to W is anisotropic (that is, Q(w) ≠ 0 for every nonzero w in W).
Chevalley–Warning theorem asserts that over a finite field the dimension of W is at most two.
If the dimension of V is odd, the dimension of W is thus equal to one, and its matrix is congruent either to or to where 𝜙 is a non-square scalar. It results that there is only one orthogonal group that is denoted O(2n + 1, q), where q is the number of elements of the finite field (a power of an odd prime).[6]
If the dimension of W is two and –1 is not a square in the ground field (that is, if its number of elements q is congruent to 3 modulo 4), the matrix of the restriction of Q to W is congruent to either I or –I, where I is the 2×2 identity matrix. If the dimension of W is two and –1 is a square in the ground field (that is, if q is congruent to 1, modulo 4) the matrix of the restriction of Q to W is congruent to 𝜙 is any non-square scalar.
This implies that if the dimension of V is even, there are only two orthogonal groups, depending whether the dimension of W zero or two. They are denoted respectively O+(2n, q) and O−(2n, q).[6]
The orthogonal group Oϵ(2, q) is a dihedral group of order 2(q − ϵ), where ϵ = ±.
For studying the orthogonal group of Oϵ(2, q), one can suppose that the matrix of the quadratic form is because, given a quadratic form, there is a basis where its matrix is diagonalizable. A matrix belongs to the orthogonal group if that is, a2 – ωb2 = 1, ac – ωbd = 0, and c2 – ωd2 = –ω. As a and b cannot be both zero (because of the first equation), the second equation implies the existence of ϵ in Fq, such that c = ϵωb and d = ϵa. Reporting these values in the third equation, and using the first equation, one gets that ϵ2 = 1, and thus the orthogonal group consists of the matrices
where a2 – ωb2 = 1 and ϵ = ±1. Moreover, the determinant of the matrix is ϵ.
For further studying the orthogonal group, it is convenient to introduce a square root α of ω. This square root belongs to Fq if the orthogonal group is O+(2, q), and to Fq2 otherwise. Setting x = a + αb, and y = a – αb, one has
If and are two matrices of determinant one in the orthogonal group then
This is an orthogonal matrix with a = a1a2 + ωb1b2, and b = a1b2 + b1a2. Thus
It follows that the map is a homomorphism of the group of orthogonal matrices of determinant one into the multiplicative group of Fq2.
In the case of O+(2n, q), the image is the multiplicative group of Fq, which is a cyclic group of order q.
In the case of O–(2n, q), the above x and y are conjugate, and are therefore the image of each other by the Frobenius automorphism. This meand that and thus For every such x one can reconstruct a corresponding orthogonal matrix. It follows that the map is a group isomorphism from the orthogonal matrices of determinant 1 to the group of the (q + 1)-roots of unity. This group is a cyclic group of order q + 1 which consists of the powers of where g is a primitive element of Fq2,
For finishing the proof, it suffices to verify that the group all orthogonal matrices is not abelian, and is the semidirect product of the group {1, –1} and the group of orthogonal matrices of determinant one.
The comparison of this proof with the real case may be illuminating.
Here two group isomorphisms are involved:
where g is a primitive element of Fq2 and T is the multiplicative group of the element of norm one in Fq2 ;
with and
In the real case, the corresponding isomorphisms are:
where C is the circle of the complex numbers of norm one;
with and
When the characteristic is not two, the order of the orthogonal groups are[7]
In characteristic two, the formulas are the same, except that the factor 2 of must be removed.
The Dickson invariant
For orthogonal groups, the Dickson invariant is a homomorphism from the orthogonal group to the quotient group Z/2Z (integers modulo 2), taking the value 0 in case the element is the product of an even number of reflections, and the value of 1 otherwise.[8]
Algebraically, the Dickson invariant can be defined as D(f) = rank(I − f) modulo 2, where I is the identity (Taylor 1992, Theorem 11.43). Over fields that are not of characteristic 2 it is equivalent to the determinant: the determinant is −1 to the power of the Dickson invariant. Over fields of characteristic 2, the determinant is always 1, so the Dickson invariant gives more information than the determinant.
The special orthogonal group is the kernel of the Dickson invariant[8] and usually has index 2 in O(n, F ).[9] When the characteristic of F is not 2, the Dickson Invariant is 0 whenever the determinant is 1. Thus when the characteristic is not 2, SO(n, F ) is commonly defined to be the elements of O(n, F ) with determinant 1. Each element in O(n, F ) has determinant ±1. Thus in characteristic 2, the determinant is always 1.
The Dickson invariant can also be defined for Clifford groups and pin groups in a similar way (in all dimensions).
Orthogonal groups of characteristic 2
Over fields of characteristic 2 orthogonal groups often exhibit special behaviors, some of which are listed in this section. (Formerly these groups were known as the hypoabelian groups, but this term is no longer used.)
- Any orthogonal group over any field is generated by reflections, except for a unique example where the vector space is 4-dimensional over the field with 2 elements and the Witt index is 2.[10] A reflection in characteristic two has a slightly different definition. In characteristic two, the reflection orthogonal to a vector u takes a vector v to v + B(v, u)/Q(u) · u where B is the bilinear form[clarification needed] and Q is the quadratic form associated to the orthogonal geometry. Compare this to the Householder reflection of odd characteristic or characteristic zero, which takes v to v − 2·B(v, u)/Q(u) · u.
- The center of the orthogonal group usually has order 1 in characteristic 2, rather than 2, since I = −I.
- In odd dimensions 2n + 1 in characteristic 2, orthogonal groups over perfect fields are the same as symplectic groups in dimension 2n. In fact the symmetric form is alternating in characteristic 2, and as the dimension is odd it must have a kernel of dimension 1, and the quotient by this kernel is a symplectic space of dimension 2n, acted upon by the orthogonal group.
- In even dimensions in characteristic 2 the orthogonal group is a subgroup of the symplectic group, because the symmetric bilinear form of the quadratic form is also an alternating form.
La norma del espinor
The spinor norm is a homomorphism from an orthogonal group over a field F to the quotient group F×/(F×)2 (the multiplicative group of the field F up to multiplication by square elements), that takes reflection in a vector of norm n to the image of n in F×/(F×)2.[11]
For the usual orthogonal group over the reals, it is trivial, but it is often non-trivial over other fields, or for the orthogonal group of a quadratic form over the reals that is not positive definite.
Cohomología de Galois y grupos ortogonales
In the theory of Galois cohomology of algebraic groups, some further points of view are introduced. They have explanatory value, in particular in relation with the theory of quadratic forms; but were for the most part post hoc, as far as the discovery of the phenomena is concerned. The first point is that quadratic forms over a field can be identified as a Galois H1, or twisted forms (torsors) of an orthogonal group. As an algebraic group, an orthogonal group is in general neither connected nor simply-connected; the latter point brings in the spin phenomena, while the former is related to the discriminant.
The 'spin' name of the spinor norm can be explained by a connection to the spin group (more accurately a pin group). This may now be explained quickly by Galois cohomology (which however postdates the introduction of the term by more direct use of Clifford algebras). The spin covering of the orthogonal group provides a short exact sequence of algebraic groups.
Here μ2 is the algebraic group of square roots of 1; over a field of characteristic not 2 it is roughly the same as a two-element group with trivial Galois action. The connecting homomorphism from H0(OV), which is simply the group OV(F) of F-valued points, to H1(μ2) is essentially the spinor norm, because H1(μ2) is isomorphic to the multiplicative group of the field modulo squares.
There is also the connecting homomorphism from H1 of the orthogonal group, to the H2 of the kernel of the spin covering. The cohomology is non-abelian so that this is as far as we can go, at least with the conventional definitions.
Álgebra de mentiras
The Lie algebra corresponding to Lie groups O(n, F ) and SO(n, F ) consists of the skew-symmetric n × n matrices, with the Lie bracket [ , ] given by the commutator. One Lie algebra corresponds to both groups. It is often denoted by or , and called the orthogonal Lie algebra or special orthogonal Lie algebra. Over real numbers, these Lie algebras for different n are the compact real forms of two of the four families of semisimple Lie algebras: in odd dimension Bk, where n = 2k + 1, while in even dimension Dr, where n = 2r.
Since the group SO(n) is not simply connected, the representation theory of the orthogonal Lie algebras includes both representations corresponding to ordinary representations of the orthogonal groups, and representations corresponding to projective representations of the orthogonal groups. (The projective representations of SO(n) are just linear representations of the universal cover, the spin group Spin(n).) The latter are the so-called spin representation, which are important in physics.
More generally, given a vector space (over a field with characteristic not equal to 2) with a nondegenerate symmetric bilinear form , the special orthogonal Lie algebra consists of tracefree endomorphisms which are skew-symmetric for this form (). Over a field of characteristic 2 we consider instead the alternating endomorphisms. Concretely we can equate these with the alternating tensors . The correspondence is given by:
This description applies equally for the indefinite special orthogonal Lie algebras for symmetric bilinear forms with signature .
Over real numbers, this characterization is used in interpreting the curl of a vector field (naturally a 2-vector) as an infinitesimal rotation or "curl", hence the name.
Grupos relacionados
The orthogonal groups and special orthogonal groups have a number of important subgroups, supergroups, quotient groups, and covering groups. These are listed below.
The inclusions O(n) ⊂ U(n) ⊂ USp(2n) and USp(n) ⊂ U(n) ⊂ O(2n) are part of a sequence of 8 inclusions used in a geometric proof of the Bott periodicity theorem, and the corresponding quotient spaces are symmetric spaces of independent interest – for example, U(n)/O(n) is the Lagrangian Grassmannian.
Lie subgroups
In physics, particularly in the areas of Kaluza–Klein compactification, it is important to find out the subgroups of the orthogonal group. The main ones are:
- – preserve an axis
- – U(n) are those that preserve a compatible complex structure or a compatible symplectic structure – see 2-out-of-3 property; SU(n) also preserves a complex orientation.
Lie supergroups
The orthogonal group O(n) is also an important subgroup of various Lie groups:
Conformal group
Being isometries, real orthogonal transforms preserve angles, and are thus conformal maps, though not all conformal linear transforms are orthogonal. In classical terms this is the difference between congruence and similarity, as exemplified by SSS (side-side-side) congruence of triangles and AAA (angle-angle-angle) similarity of triangles. The group of conformal linear maps of Rn is denoted CO(n) for the conformal orthogonal group, and consists of the product of the orthogonal group with the group of dilations. If n is odd, these two subgroups do not intersect, and they are a direct product: CO(2k + 1) = O(2k + 1) × R∗, where R∗ = R∖{0} is the real multiplicative group, while if n is even, these subgroups intersect in ±1, so this is not a direct product, but it is a direct product with the subgroup of dilation by a positive scalar: CO(2k) = O(2k) × R+.
Similarly one can define CSO(n); note that this is always: CSO(n) = CO(n) ∩ GL+(n) = SO(n) × R+.
Discrete subgroups
As the orthogonal group is compact, discrete subgroups are equivalent to finite subgroups.[note 1] These subgroups are known as point groups and can be realized as the symmetry groups of polytopes. A very important class of examples are the finite Coxeter groups, which include the symmetry groups of regular polytopes.
Dimension 3 is particularly studied – see point groups in three dimensions, polyhedral groups, and list of spherical symmetry groups. In 2 dimensions, the finite groups are either cyclic or dihedral – see point groups in two dimensions.
Other finite subgroups include:
- Permutation matrices (the Coxeter group An)
- Signed permutation matrices (the Coxeter group Bn); also equals the intersection of the orthogonal group with the integer matrices.[note 2]
Covering and quotient groups
The orthogonal group is neither simply connected nor centerless, and thus has both a covering group and a quotient group, respectively:
- Two covering Pin groups, Pin+(n) → O(n) and Pin−(n) → O(n),
- The quotient projective orthogonal group, O(n) → PO(n).
These are all 2-to-1 covers.
For the special orthogonal group, the corresponding groups are:
- Spin group, Spin(n) → SO(n),
- Projective special orthogonal group, SO(n) → PSO(n).
Spin is a 2-to-1 cover, while in even dimension, PSO(2k) is a 2-to-1 cover, and in odd dimension PSO(2k + 1) is a 1-to-1 cover; i.e., isomorphic to SO(2k + 1). These groups, Spin(n), SO(n), and PSO(n) are Lie group forms of the compact special orthogonal Lie algebra, – Spin is the simply connected form, while PSO is the centerless form, and SO is in general neither.[note 3]
In dimension 3 and above these are the covers and quotients, while dimension 2 and below are somewhat degenerate; see specific articles for details.
Espacio homogéneo principal: colector Stiefel
The principal homogeneous space for the orthogonal group O(n) is the Stiefel manifold Vn(Rn) of orthonormal bases (orthonormal n-frames).
In other words, the space of orthonormal bases is like the orthogonal group, but without a choice of base point: given an orthogonal space, there is no natural choice of orthonormal basis, but once one is given one, there is a one-to-one correspondence between bases and the orthogonal group. Concretely, a linear map is determined by where it sends a basis: just as an invertible map can take any basis to any other basis, an orthogonal map can take any orthogonal basis to any other orthogonal basis.
The other Stiefel manifolds Vk(Rn) for k < n of incomplete orthonormal bases (orthonormal k-frames) are still homogeneous spaces for the orthogonal group, but not principal homogeneous spaces: any k-frame can be taken to any other k-frame by an orthogonal map, but this map is not uniquely determined.
Ver también
Specific transforms
- Coordinate rotations and reflections
- Reflection through the origin
Specific groups
- rotation group, SO(3, R)
- SO(8)
Related groups
- indefinite orthogonal group
- unitary group
- symplectic group
Lists of groups
- list of finite simple groups
- list of simple Lie groups
Representation theory
- Representations of classical Lie groups
- Brauer algebra
Notas
- ^ Infinite subsets of a compact space have an accumulation point and are not discrete.
- ^ O(n) ∩ GL(n, Z) equals the signed permutation matrices because an integer vector of norm 1 must have a single non-zero entry, which must be ±1 (if it has two non-zero entries or a larger entry, the norm will be larger than 1), and in an orthogonal matrix these entries must be in different coordinates, which is exactly the signed permutation matrices.
- ^ In odd dimension, SO(2k + 1) ≅ PSO(2k + 1) is centerless (but not simply connected), while in even dimension SO(2k) is neither centerless nor simply connected.
Citas
- ^ For base fields of characteristic not 2, the definition in terms of a symmetric bilinear form is equivalent to that in terms of a quadratic form, but in characteristic 2 these notions differ.
- ^ Hall 2015 Theorem 11.2
- ^ Hall 2015 Section 1.3.4
- ^ Hall 2015 Proposition 13.10
- ^ John Baez "This Week's Finds in Mathematical Physics" week 105
- ^ a b Wilson, Robert A. (2009). The finite simple groups. Graduate Texts in Mathematics. 251. London: Springer. pp. 69–75. ISBN 978-1-84800-987-5. Zbl 1203.20012.
- ^ (Taylor 1992, p. 141)
- ^ a b Knus, Max-Albert (1991), Quadratic and Hermitian forms over rings, Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, 294, Berlin etc.: Springer-Verlag, p. 224, ISBN 3-540-52117-8, Zbl 0756.11008
- ^ (Taylor 1992, page 160)
- ^ (Grove 2002, Theorem 6.6 and 14.16)
- ^ Cassels 1978, p. 178
Referencias
- Cassels, J.W.S. (1978), Rational Quadratic Forms, London Mathematical Society Monographs, 13, Academic Press, ISBN 0-12-163260-1, Zbl 0395.10029
- Grove, Larry C. (2002), Classical groups and geometric algebra, Graduate Studies in Mathematics, 39, Providence, R.I.: American Mathematical Society, ISBN 978-0-8218-2019-3, MR 1859189
- Hall, Brian C. (2015), Lie Groups, Lie Algebras, and Representations: An Elementary Introduction, Graduate Texts in Mathematics, 222 (2nd ed.), Springer, ISBN 978-3319134666
- Taylor, Donald E. (1992), The Geometry of the Classical Groups, Sigma Series in Pure Mathematics, 9, Berlin: Heldermann Verlag, ISBN 3-88538-009-9, MR 1189139, Zbl 0767.20001
enlaces externos
- "Orthogonal group", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]
- John Baez "This Week's Finds in Mathematical Physics" week 105
- John Baez on Octonions
- (in Italian) n-dimensional Special Orthogonal Group parametrization