En teoría de números , un número de Smith es un número compuesto para el cual, en una base numérica dada , la suma de sus dígitos es igual a la suma de los dígitos en su factorización prima en la base numérica dada . En el caso de números que no son libres de cuadrados , la factorización se escribe sin exponentes, escribiendo el factor repetido tantas veces como sea necesario.
Lleva el nombre de | Harold Smith ( cuñado de Albert Wilansky) |
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Autor de la publicación | Albert Wilansky |
Total no. de términos | infinito |
Fórmula | ver la definición matemática |
Primeros términos | 4 , 22 , 27 , 58 , 85 , 94 , 121 |
Término más grande conocido | ver propiedades |
Índice OEIS |
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Los números de Smith fueron nombrados por Albert Wilansky de la Universidad de Lehigh , ya que notó la propiedad en el número de teléfono (493-7775) de su cuñado Harold Smith:
- 4937775 = 3 1 5 2 65837 1
tiempo
- 4 + 9 + 3 + 7 + 7 + 7 + 5 = 3 · 1 + 5 · 2 + (6 + 5 + 8 + 3 + 7) · 1 = 42
Definición matemática
Dejar ser un número natural. Para base, deja la función ser la suma de dígitos de n en base. Un numero natural tiene la factorización entera
y es un número de Smith si
dónde es la valoración p-ádica de.
Por ejemplo, en base 10 , 378 = 2 1 3 3 7 1 es un número de Smith ya que 3 + 7 + 8 = 2 · 1 + 3 · 3 + 7 · 1, y 22 = 2 1 11 1 es un número de Smith, porque 2 + 2 = 2 · 1 + (1 + 1) · 1
Los primeros números de Smith en base 10 son:
- 4 , 22 , 27 , 58 , 85 , 94 , 121 , 166 , 202 , 265 , 274 , 319 , 346 , 355 , 378 , 382 , 391 , 438 , 454 , 483 , 517 , 526 , 535 , 562 , 576 , 588 , 627 , 634 , 636 , 645 , 648 , 654 , 663 , 666 , 690 , 706 , 728 , 729 , 762 , 778 , 825 , 852 , 861 , 895 , 913 , 915 , 922 , 958 , 985 , 1086… (secuencia A006753 en la OEIS )
Propiedades
WL McDaniel en 1987 demostró que hay infinitos números de Smith. [1] [2] El número de números de Smith en base 10 por debajo de 10 n para n = 1,2, ... es:
- 1, 6, 49, 376, 3294, 29928, 278411, 2632758, 25154060, 241882509,… (secuencia A104170 en la OEIS )
Dos números Smith consecutivos (por ejemplo, 728 y 729, o 2964 y 2965) se llaman hermanos Smith . [3] No se sabe cuántos hermanos Smith hay. Los elementos iniciales de la tupla n de Smith más pequeña (es decir, n números de Smith consecutivos) en base 10 para n = 1, 2, ... son: [4]
- 4, 728, 73615, 4463535, 15966114, 2050918644, 164736913905,… (secuencia A059754 en la OEIS )
Los números de Smith se pueden construir a partir de repeticiones factorizadas . El número Smith más grande conocido en base 10 a partir de 2010[actualizar] es:
- 9 × R 1031 × (10 4594 + 3 × 10 2297 + 1) 1476 × 10 3 913 210
donde R 1031 es una repunidad igual a (10 1031 −1) / 9.
Ver también
- Número equidigital
Notas
- ↑ a b Sándor y Crstici (2004) p.383
- ^ McDaniel, Wayne (1987). "La existencia de infinitos números de k-Smith". Fibonacci Quarterly . 25 (1): 76–80. Zbl 0608.10012 .
- ^ Sándor y Crstici (2004) p.384
- ^ Shyam Sunder Gupta. "Fascinantes números de Smith" .
Referencias
- Gardner, Martin (1988). Penrose Tiles to Trapdoor Ciphers . págs. 299–300.
- Sándor, Jozsef; Crstici, Borislav (2004). Manual de teoría de números II . Dordrecht: Académico Kluwer. págs. 32 –36. ISBN 1-4020-2546-7. Zbl 1079.11001 .
enlaces externos
- Weisstein, Eric W. "Número de Smith" . MathWorld .
- Shyam Sunder Gupta, fascinantes números de Smith .
- Copeland, Ed . "4937775 - Números de Smith" . Numberphile . Brady Haran .