En matemáticas , un conjunto de soluciones es el conjunto de valores que satisfacen un conjunto dado de ecuaciones o desigualdades.
Por ejemplo, para un conjunto de polinomios sobre un anillo , el conjunto de soluciones es el subconjunto de en el que todos los polinomios desaparecen (evaluar a 0), formalmente
La región factible de un problema de optimización restringida es el conjunto de soluciones de las restricciones .
Ejemplos de
- El conjunto de solución de la ecuación única es el conjunto {0}.
- Para cualquier polinomio distinto de cero sobre los números complejos en una variable, el conjunto de solución se compone de un número finito de puntos.
- Sin embargo, para un polinomio complejo en más de una variable, el conjunto de soluciones no tiene puntos aislados.
Observaciones
En geometría algebraica , los conjuntos de soluciones se denominan conjuntos algebraicos si no hay desigualdades. Sobre los reales , y con desigualdades, se denominan conjuntos semialgebraicos .
Otros significados
De manera más general, el conjunto de soluciones a una colección arbitraria E de relaciones ( E i ) ( i que varía en algún conjunto de índices I ) para una colección de incógnitas, se supone que toma valores en espacios respectivos , es el conjunto S de todas las soluciones a las relaciones E , donde una solución es una familia de valores tal que sustituyendo por en la colección E hace que todas las relaciones sean "verdaderas".
(En lugar de relaciones que dependen de incógnitas, se debería hablar más correctamente de predicados , la colección E es su conjunción lógica y el conjunto de solución es la imagen inversa del valor booleano verdadero por la función asociada con valor booleano ).
El significado anterior es un caso especial de este, si el conjunto de polinomios f i se interpreta como el conjunto de ecuaciones f i ( x ) = 0.
Ejemplos de
- El conjunto de soluciones para E = { x + y = 0} con respecto aes S = {( a , - a ): a ∈ R }.
- El conjunto de soluciones para E = { x + y = 0} con respecto aes S = {- y }. (Aquí, y no se "declara" como una incógnita y, por lo tanto, debe verse como un parámetro del que depende la ecuación y, por lo tanto, el conjunto de soluciones).
- La solución establecida para con respecto a es el intervalo S = [0,2] (ya queno está definido para valores negativos de x ).
- La solución establecida para con respecto a es S = 2π Z (ver identidad de Euler ).