En matemáticas, la identidad de Euler [n 1] (también conocida como ecuación de Euler ) es la igualdad
dónde
- e es el número de Euler , la base de los logaritmos naturales ,
- i es la unidad imaginaria , que por definición satisface i 2 = −1 , y
- π es pi , la relación entre la circunferencia de un círculo y su diámetro.
La identidad de Euler lleva el nombre del matemático suizo Leonhard Euler . Se considera un ejemplo de belleza matemática, ya que muestra una conexión profunda entre los números más fundamentales de las matemáticas.
Belleza matemática
La identidad de Euler se cita a menudo como un ejemplo de profunda belleza matemática . [3] Tres de las operaciones aritméticas básicas ocurren exactamente una vez cada una: suma , multiplicación y exponenciación . La identidad también vincula cinco constantes matemáticas fundamentales : [4]
- El número 0 , la identidad aditiva .
- El número 1 , la identidad multiplicativa .
- El número π ( π = 3.141 ...), la constante fundamental del círculo .
- El número e ( e = 2.718 ...), también conocido como el número de Euler, que se encuentra ampliamente en el análisis matemático .
- El número i , la unidad imaginaria de los números complejos .
Además, la ecuación se da en forma de un conjunto de expresión igual a cero, que es una práctica común en varias áreas de las matemáticas.
El profesor de matemáticas de la Universidad de Stanford, Keith Devlin, ha dicho: "como un soneto de Shakespeare que captura la esencia misma del amor, o una pintura que resalta la belleza de la forma humana que es mucho más que superficial, la ecuación de Euler llega hasta lo más profundo de la piel. profundidades de la existencia ". [5] Y Paul Nahin , profesor emérito de la Universidad de New Hampshire , que ha escrito un libro dedicado a la fórmula de Euler y sus aplicaciones en el análisis de Fourier , describe la identidad de Euler como "de una belleza exquisita". [6]
La escritora de matemáticas Constance Reid ha opinado que la identidad de Euler es "la fórmula más famosa de todas las matemáticas". [7] Y Benjamin Peirce , un filósofo , matemático y profesor estadounidense del siglo XIX en la Universidad de Harvard , después de probar la identidad de Euler durante una conferencia, afirmó que la identidad "es absolutamente paradójica; no podemos entenderla y no sabemos lo que significa, pero lo hemos probado, y por lo tanto sabemos que debe ser la verdad ". [8]
Una encuesta de lectores realizada por The Mathematical Intelligencer en 1990 nombró la identidad de Euler como "el teorema más hermoso de las matemáticas". [9] En otra encuesta de lectores realizada por Physics World en 2004, la identidad de Euler se vinculó con las ecuaciones de Maxwell (del electromagnetismo ) como la "ecuación más grande de todos los tiempos". [10]
Un estudio de los cerebros de dieciséis matemáticos descubrió que el "cerebro emocional" (específicamente, la corteza orbitofrontal medial , que se ilumina para obtener música hermosa, poesía, imágenes, etc.) se ilumina de manera más consistente para la identidad de Euler que para cualquier otra fórmula. [11]
Se han publicado al menos tres libros de matemáticas populares sobre la identidad de Euler:
- La fabulosa fórmula del Dr. Euler: cura muchos males matemáticos , por Paul Nahin (2011) [12]
- Una ecuación más elegante: la fórmula de Euler y la belleza de las matemáticas , por David Stipp (2017) [13]
- Ecuación pionera de Euler: el teorema más hermoso de las matemáticas , de Robin Wilson (2018). [14]
Explicaciones
Exponentes imaginarios
Fundamentalmente, la identidad de Euler afirma que es igual a -1. La expresion es un caso especial de la expresión , donde z es cualquier número complejo. En general,se define para el complejo z extendiendo una de las definiciones de la función exponencial de exponentes reales a exponentes complejos. Por ejemplo, una definición común es:
La identidad de Euler, por lo tanto, establece que el límite, cuando n se acerca al infinito, dees igual a -1. Este límite se ilustra en la animación de la derecha.
La identidad de Euler es un caso especial de la fórmula de Euler , que establece que para cualquier número real x ,
donde las entradas de las funciones trigonométricas seno y coseno se dan en radianes .
En particular, cuando x = π ,
Desde
y
resulta que
que produce la identidad de Euler:
Interpretación geométrica
Cualquier número complejo puede ser representado por el punto en el plano complejo . Este punto también se puede representar en coordenadas polares como, donde r es el valor absoluto de z (distancia desde el origen), yes el argumento de z (ángulo en sentido antihorario desde el eje x positivo ). Según las definiciones de seno y coseno, este punto tiene coordenadas cartesianas de, lo que implica que . Según la fórmula de Euler, esto equivale a decir.
La identidad de Euler dice que . Desde es para r = 1 y, esto se puede interpretar como un hecho sobre el número -1 en el plano complejo: su distancia desde el origen es 1, y su ángulo desde el eje x positivo es radianes.
Además, cuando cualquier número complejo z se multiplica por, tiene el efecto de girar z en sentido antihorario en un ángulo deen el plano complejo. Dado que la multiplicación por −1 refleja un punto a través del origen, la identidad de Euler se puede interpretar diciendo que rotar cualquier punto radianes alrededor del origen tiene el mismo efecto que reflejar el punto a través del origen.
Generalizaciones
La identidad de Euler es también un caso especial de la identidad más general que las raíces n - ésimas de la unidad , para n > 1 , suman 0:
La identidad de Euler es el caso donde n = 2 .
En otro campo de las matemáticas, al utilizar la potenciación de cuaterniones , se puede demostrar que una identidad similar también se aplica a los cuaterniones. Sean { i , j , k } los elementos base; luego,
En general, dado un 1 , un 2 y un 3 reales tales que a 1 2 + a 2 2 + a 3 2 = 1 , entonces,
Para los octoniones , con un real n tal que a 1 2 + a 2 2 + ... + a 7 2 = 1 , y con los elementos base del octonión { i 1 , i 2 , ..., i 7 } ,
Historia
Se ha afirmado que la identidad de Euler aparece en su monumental obra de análisis matemático publicado en 1748, Introductio in analysin infinitorum . [15] Sin embargo, es cuestionable si este concepto en particular puede atribuirse al propio Euler, ya que es posible que nunca lo haya expresado. [16] Además, mientras Euler escribió en la Introductio sobre lo que hoy llamamos la fórmula de Euler , [17] que relaciona e con términos de coseno y seno en el campo de los números complejos, el matemático inglés Roger Cotes (que murió en 1716, cuando Euler tenía solo 9 años) también conocía esta fórmula y Euler pudo haber adquirido el conocimiento a través de su compatriota suizo Johann Bernoulli . [dieciséis]
Robin Wilson afirma lo siguiente. [18]
Hemos visto cómo [la identidad de Euler] puede deducirse fácilmente de los resultados de Johann Bernoulli y Roger Cotes, pero que ninguno de ellos parece haberlo hecho. Incluso Euler no parece haberlo escrito explícitamente, y ciertamente no aparece en ninguna de sus publicaciones, aunque seguramente debe haberse dado cuenta de que se sigue inmediatamente de su identidad [es decir, la fórmula de Euler ], e ix = cos x + yo pecado x . Además, parece que se desconoce quién declaró por primera vez el resultado de forma explícita….
Ver también
- La fórmula de De Moivre
- Funcion exponencial
- Constante de Gelfond
Notas
- ^ El término "identidad de Euler" (o "identidad de Euler") también se utiliza en otros lugares para referirse a otros conceptos, incluida la fórmula general relacionada e ix = cos x + i sen x , [1] y la fórmula del producto de Euler . [2]
Referencias
- ^ Dunham, 1999, p. xxiv .
- ^ Stepanov, SA (7 de febrero de 2011). "Identidad Euler" . Enciclopedia de Matemáticas . Consultado el 7 de septiembre de 2018 .
- ^ Gallagher, James (13 de febrero de 2014). "Matemáticas: por qué el cerebro ve las matemáticas como una belleza" . BBC News Online . Consultado el 26 de diciembre de 2017 .
- ^ Paulos, 1992, p. 117.
- ^ Nahin, 2006, p. 1 .
- ^ Nahin, 2006, p. xxxii.
- ^ Reid, capítulo e .
- ^ Maor, pág. 160 y Kasner y Newman, pág. 103-104 .
- ^ Wells, 1990.
- ^ Pliegue, 2004.
- ^ Zeki et al., 2014.
- ^ Nahin, Paul (2011). La fabulosa fórmula del Dr. Euler: cura muchos males matemáticos . Prensa de la Universidad de Princeton. ISBN 978-0691118222.
- ^ Stipp, David (2017). Una ecuación de lo más elegante: la fórmula de Euler y la belleza de las matemáticas (Primera ed.). Libros básicos. ISBN 978-0465093779.
- ^ Wilson, Robin (2018). Ecuación pionera de Euler: el teorema más hermoso de las matemáticas . Oxford: Prensa de la Universidad de Oxford. ISBN 978-0198794936.
- ^ Conway y Guy, p. 254-255.
- ↑ a b Sandifer, pág. 4.
- ^ Euler, pág. 147.
- ^ Wilson, pág. 151-152.
Fuentes
- Conway, John H. y Guy, Richard K. (1996), El libro de los números , Springer ISBN 978-0-387-97993-9
- Crease, Robert P. (10 de mayo de 2004), " Las mejores ecuaciones de la historia ", Physics World [se requiere registro]
- Dunham, William (1999), Euler: El maestro de todos nosotros , Asociación Matemática de AméricaISBN 978-0-88385-328-3
- Euler, Leonhard (1922), Leonhardi Euleri opera omnia. 1, Ópera matemática. Volumen VIII, Leonhardi Euleri introductio in analysin infinitorum. Tomus primus , Leipzig: BG Teubneri
- Kasner, E. y Newman, J. (1940), Matemáticas e imaginación , Simon & Schuster
- Maor, Eli (1998), e : La historia de un número , Princeton University PressISBN 0-691-05854-7
- Nahin, Paul J. (2006), La fabulosa fórmula del Dr. Euler: cura muchos males matemáticos , Princeton University PressISBN 978-0-691-11822-2
- Paulos, John Allen (1992), Beyond Numeracy: An Uncommon Dictionary of Mathematics , Penguin BooksISBN 0-14-014574-5
- Reid, Constance (varias ediciones), From Zero to Infinity , Asociación Matemática de América
- Sandifer, C. Edward (2007), Euler's Greatest Hits , Asociación Matemática de AméricaISBN 978-0-88385-563-8
- Stipp, David (2017), Una ecuación más elegante: la fórmula de Euler y la belleza de las matemáticas , Libros básicos
- Wells, David (1990). "¿Son estos los más bonitos?". El inteligente matemático . 12 (3): 37–41. doi : 10.1007 / BF03024015 .
- Wilson, Robin (2018), Ecuación pionera de Euler: El teorema más hermoso de las matemáticas , Oxford University Press
- Zeki, S .; Romaya, JP; Benincasa, DMT; Atiyah, MF (2014), "La experiencia de la belleza matemática y sus correlatos neurales", Frontiers in Human Neurociencia , 8 : 68, doi : 10.3389 / fnhum.2014.00068 , PMC 3.923.150 , PMID 24592230
enlaces externos
- Derivación completa de la identidad de Euler
- Comprensión intuitiva de la fórmula de Euler