En lógica matemática , un predicado es la formalización del concepto matemático de enunciado . Una declaración se entiende comúnmente como una afirmación que puede ser verdadera o falsa , dependiendo de los valores de las variables que ocurren en ella. Un predicado es una fórmula bien formada que se puede evaluar como verdadero o falso en función de los valores de las variables que ocurren en él. Por tanto, puede considerarse como una función de valor booleano .
Un predicado consta de fórmulas atómicas conectadas con conectivos lógicos . Una fórmula atómica es una fórmula bien formada de alguna teoría matemática. Los principales conectivos lógicos son negación ( no o ¬ ), conjunción lógica ( y o ∧ ), disyunción lógica ( o o ∨ ), cuantificación existencial ( ∃ ) y cuantificación universal ( ∀ ); los predicados siempre verdaderos (indicados como verdadero o ⊤ ) y siempre falsos (indicados como falso o ⊥ ) se consideran comúnmente también como conectivos lógicos.
Un predicado que no contiene ningún cuantificador ( ∃ o ∀ ), se llama fórmula proposicional . Un predicado cuyos cuantificadores se aplican todos a elementos individuales, y no a conjuntos o predicados, se denomina predicado de primer orden .
Descripción general simplificada
Informalmente, un predicado, a menudo denotado por letras mayúsculas romanas como, y , [1] es una declaración que puede ser verdadera o falsa dependiendo de los valores de sus variables. [2] Se puede considerar como un operador o función que devuelve un valor que es verdadero o falso dependiendo de su entrada. [3] [4] Por ejemplo, los predicados a veces se usan para indicar la pertenencia a un conjunto: cuando se habla de conjuntos, a veces es inconveniente o imposible describir un conjunto enumerando todos sus elementos. Así, un predicado P ( x ) será verdadero o falso, dependiendo de si x pertenece a un conjunto o no.
Un predicado puede ser una proposición si el marcador de posición x está definido por dominio o selección.
Los predicados también se usan comúnmente para hablar sobre las propiedades de los objetos, al definir el conjunto de todos los objetos que tienen alguna propiedad en común. Por ejemplo, cuando P es un predicado en X , uno puede a veces dicen que P es una propiedad de X . De manera similar, la notación P ( x ) se usa para denotar una oración o enunciado P con respecto al objeto variable x . El conjunto definido por P ( x ), también llamado extensión [5] de P , se escribe como { x | P ( x )}, y es el conjunto de objetos para los que P es verdadero.
Por ejemplo, { x | x es un número entero positivo menor que 4} es el conjunto {1,2,3}.
Si t es un elemento del conjunto { x | P ( x )}, entonces el enunciado P ( t ) es verdadero .
Aquí, P ( x ) se denomina como el predicado , y x el marcador de posición de la proposición . A veces, P ( x ) también se denomina función proposicional ( plantilla en el papel de) , ya que cada elección del marcador de posición x produce una proposición.
Una forma simple de predicado es una expresión booleana , en cuyo caso las entradas a la expresión son en sí mismas valores booleanos, combinados mediante operaciones booleanas. De manera similar, una expresión booleana con predicados de entrada es en sí misma un predicado más complejo.
Definicion formal
La interpretación semántica precisa de una fórmula atómica y una oración atómica variará de una teoría a otra.
- En lógica proposicional , las fórmulas atómicas se denominan variables proposicionales . [6] En cierto sentido, estos son predicados nulares (es decir, 0- aridad ).
- En la lógica de primer orden , una fórmula atómica consiste en un símbolo de predicado aplicado a un número apropiado de términos.
- En la teoría de conjuntos , se entiende que los predicados son funciones características o funciones indicadoras de conjuntos (es decir, funciones de un elemento de conjunto a un valor de verdad ). La notación del constructor de conjuntos utiliza predicados para definir conjuntos.
- En la lógica autoepistémica , que rechaza la ley del medio excluido , los predicados pueden ser verdaderos, falsos o simplemente desconocidos . En particular, una colección determinada de hechos puede ser insuficiente para determinar la verdad o falsedad de un predicado.
- En lógica difusa , los predicados son las funciones características de una distribución de probabilidad . Es decir, la valoración estricta de verdadero / falso del predicado es reemplazada por una cantidad interpretada como el grado de verdad.
Ver también
- Clasificación de topos
- Variables libres y variables ligadas
- Predicado multigrado
- Predicado opaco
- Lógica del functor de predicados
- Variable de predicado
- Portador de la verdad
- Fórmula bien formada
Referencias
- ^ "Lista completa de símbolos lógicos" . Bóveda de matemáticas . 2020-04-06 . Consultado el 20 de agosto de 2020 .
- ^ Cunningham, Daniel W. (2012). Una introducción lógica a la prueba . Nueva York: Springer. pag. 29. ISBN 9781461436317.
- ^ Haas, Guy M. "¿Y si? (Predicados)" . Introducción a la programación informática . Fundación Berkeley para las Oportunidades en TI (BFOIT). Archivado desde el original el 13 de agosto de 2016 . Consultado el 20 de julio de 2013 .
- ^ "Matemáticas | Predicados y cuantificadores | Conjunto 1" . GeeksforGeeks . 2015-06-24 . Consultado el 20 de agosto de 2020 .
- ^ "Lógica de predicados | Wiki brillante de matemáticas y ciencias" . shiny.org . Consultado el 20 de agosto de 2020 .
- ^ Lavrov, Igor Andreevich; Maksimova, Larisa (2003). Problemas en teoría de conjuntos, lógica matemática y teoría de algoritmos . Nueva York: Springer. pag. 52. ISBN 0306477122.
enlaces externos
- Introducción a los predicados