Descomposición propia de una matriz
En álgebra lineal , la descomposición propia es la factorización de una matriz en una forma canónica , mediante la cual la matriz se representa en términos de sus valores propios y vectores propios . Solo las matrices diagonalizables se pueden factorizar de esta manera. Cuando la matriz que se factoriza es una matriz simétrica normal o real , la descomposición se denomina "descomposición espectral", derivada del teorema espectral .
Un vector v (distinto de cero) de dimensión N es un vector propio de una matriz A cuadrada N × N si satisface una ecuación lineal de la forma
para algunos escalares λ . Entonces λ se llama el valor propio correspondiente av . Geométricamente hablando, los vectores propios de A son los vectores que A simplemente alarga o encoge, y la cantidad por la que se alargan / encogen es el valor propio. La ecuación anterior se llama ecuación de valor propio o problema de valor propio.
Llamamos p ( λ ) el polinomio característico , y la ecuación, llamada ecuación característica, es una ecuación polinomial de orden N en la incógnita λ . Esta ecuación tendrá N λ soluciones distintas, donde 1 ≤ N λ ≤ N. El conjunto de soluciones, es decir, los valores propios , se llama espectro de A. [1] [2] [3]
El número entero n i se denomina multiplicidad algebraica del valor propio λ i . Las multiplicidades algebraicas suman N :
Habrá 1 ≤ m i ≤ n i soluciones linealmente independientes para cada ecuación de valor propio. Las combinaciones lineales de las soluciones m i (excepto la que da el vector cero) son los vectores propios asociados con el valor propio λ i . El entero m i se denomina multiplicidad geométrica de λ i . Es importante tener en cuenta que la multiplicidad algebraica n i y la multiplicidad geométrica m i pueden ser iguales o no, pero siempre tenemos m i ≤n i . El caso más simple es, por supuesto, cuando m i = n i = 1 . El número total de vectores propios linealmente independientes, N v , se puede calcular sumando las multiplicidades geométricas