En matemáticas , el espectro de una matriz es el conjunto de sus valores propios . [1] [2] [3] De manera más general, si es un operador lineal sobre cualquier espacio vectorial de dimensión finita, su espectro es el conjunto de escalares tal que no es invertible. El determinante de la matriz es igual al producto de sus valores propios. De manera similar, la traza de la matriz es igual a la suma de sus valores propios. [4] [5] [6] Desde este punto de vista, podemos definir el pseudodeterminante de una matriz singular como el producto de sus valores propios distintos de cero (la densidad de la distribución normal multivariante necesitará esta cantidad).
En muchas aplicaciones, como PageRank , uno está interesado en el autovalor dominante, es decir, el más grande en valor absoluto. En otras aplicaciones, el valor propio más pequeño es importante, pero en general, todo el espectro proporciona información valiosa sobre una matriz.
Definición
Sea V un espacio vectorial de dimensión finita sobre algún campo K y suponga que T : V → V es un mapa lineal. El espectro de T , que se denota σ T , es el conjunto múltiple de raíces del polinomio característico de T . Así, los elementos del espectro son precisamente los valores propios de T , y la multiplicidad de un valor propio λ en el espectro es igual a la dimensión del espacio propio generalizado de T para λ (también llamada multiplicidad algebraica de λ ).
Ahora, fije una base B de V sobre K y suponga que M ∈Mat K ( V ) es una matriz. Defina el mapa lineal T : V → V puntualmente por Tx = Mx , donde en el lado derecho x se interpreta como un vector columna y M actúa sobre x mediante la multiplicación de matrices. Ahora decimos que x ∈ V es un vector propio de M si x es un vector propio de T . De manera similar, λ∈ K es un valor propio de M si es un valor propio de T , y con la misma multiplicidad, y el espectro de M , escrito σ M , es el conjunto múltiple de todos esos valores propios.
Nociones relacionadas
La descomposición propia (o descomposición espectral) de una matriz diagonalizable es una descomposición de una matriz diagonalizable en una forma canónica específica mediante la cual la matriz se representa en términos de sus autovalores y autovectores.
El radio espectral de una matriz cuadrada es el valor absoluto más grande de sus valores propios. En teoría espectral , el radio espectral de un operador lineal acotado es el superior de los valores absolutos de los elementos en el espectro de ese operador.
Notas
- ^ Golub y Van Loan (1996 , p. 310)
- ↑ Kreyszig (1972 , p. 273)
- ^ Nering (1970 , p. 270)
- ^ Golub y Van Loan (1996 , p. 310)
- ^ Herstein (1964 , págs. 271-272)
- ^ Nering (1970 , págs. 115-116)
Referencias
- Golub, Gene H .; Van Loan, Charles F. (1996), Matrix Computations (3.a ed.), Baltimore: Johns Hopkins University Press , ISBN 0-8018-5414-8
- Herstein, IN (1964), Temas de álgebra , Waltham: Blaisdell Publishing Company , ISBN 978-1114541016
- Kreyszig, Erwin (1972), Matemáticas de ingeniería avanzada (3.a ed.), Nueva York: Wiley , ISBN 0-471-50728-8
- Nering, Evar D. (1970), Álgebra lineal y teoría de matrices (2a ed.), Nueva York: Wiley , LCCN 76091646