En matemáticas, una matriz cuadrada compleja A es normal si conmuta con su transpuesta conjugada A * :
El concepto de matrices normales puede extenderse a operadores normales en espacios normados de dimensión infinita ya elementos normales en C * -álgebras . Como en el caso de la matriz, la normalidad significa que la conmutatividad se conserva, en la medida de lo posible, en el entorno no conmutativo. Esto hace que los operadores normales y los elementos normales de C * -álgebras sean más susceptibles de análisis.
El teorema espectral establece que una matriz es normal si y solo si es unitariamente similar a una matriz diagonal y, por lo tanto, cualquier matriz A que satisfaga la ecuación A * A = AA * es diagonalizable .
Casos especiales
Entre las matrices complejas, todas las matrices unitarias , hermitianas y sesgadas-hermitianas son normales. Asimismo, entre las matrices reales, todas las matrices ortogonales , simétricas y asimétricas son normales. Sin embargo, es no el caso de que todas las matrices normales son ya sea unitario o (skew-) hermitiana. Por ejemplo,
no es unitario, hermitiano ni sesgado-hermitiano, sin embargo, es normal porque
Consecuencias
- Proposición : una matriz triangular normal es diagonal .
- Prueba : Sea A cualquier matriz triangular superior normal. Desde
- usando la notación de subíndice, se puede escribir la expresión equivalente usando en su lugar el i- ésimo vector unitario ( ) para seleccionar la i- ésima fila y la i- ésima columna:
- La expresion
- es equivalente, y también lo es
- lo que muestra que la i- ésima fila debe tener la misma norma que la i- ésima columna.
- Considere i = 1 . La primera entrada de la fila 1 y la columna 1 son iguales (debido a la normalidad), y el resto de la columna 1 es cero (debido a la triangularidad). Esto implica que la primera fila debe ser cero para las entradas 2 a n . Continuando con este argumento para los pares de filas y columnas 2 a n, se muestra que A es diagonal. ◻
El concepto de normalidad es importante porque las matrices normales son precisamente aquellas a las que se aplica el teorema espectral :
- Proposición. Una matriz A es normal si y solo si existe una matriz diagonal Λ y una matriz unitaria U tal que A = U Λ U * .
Las entradas diagonales de Λ son los valores propios de A , y las columnas de U son los vectores propios de A . Los valores propios a juego en Λ vienen en el mismo orden que los vectores propios están clasificadas como columnas de U .
Otra forma de enunciar el teorema espectral es decir que las matrices normales son precisamente aquellas matrices que pueden ser representadas por una matriz diagonal con respecto a una base ortonormal correctamente elegida de C n . Dicho de otra manera: una matriz es normal si y sólo si sus eigenspaces abarcan C n y son pairwise ortogonal con respecto al producto interior estándar de C n .
El teorema espectral para matrices normales es un caso especial de la descomposición de Schur más general que se cumple para todas las matrices cuadradas. Sea A una matriz cuadrada. Luego por la descomposición de Schur es unitaria similar a una matriz triangular superior, por ejemplo, B . Si A es normal, por lo que es B . Pero entonces B debe ser diagonal, ya que, como se señaló anteriormente, una matriz triangular superior normal es diagonal.
El teorema espectral permite la clasificación de matrices normales en términos de sus espectros, por ejemplo:
- Proposición. Una matriz normal es unitaria si y solo si todos sus valores propios (su espectro) se encuentran en el círculo unitario del plano complejo.
- Proposición. Una matriz normal es autoadjunta si y solo si su espectro está contenido en . En otras palabras: una matriz normal es hermitiana si y solo si todos sus valores propios son reales .
En general, no es necesario que la suma o el producto de dos matrices normales sea normal. Sin embargo, lo siguiente es válido:
- Proposición. Si A y B son normales con AB = BA , entonces AB y A + B también son normales. Además, existe una matriz unitaria U tal que UAU * y UBU * son matrices diagonales. En otras palabras, A y B son diagonalizables simultáneamente .
En este caso especial, las columnas de U * son vectores propios de A y B y forman una base ortonormal en C n . Esto se sigue al combinar los teoremas de que, en un campo algebraicamente cerrado, las matrices de conmutación son simultáneamente triangularizables y una matriz normal es diagonalizable; el resultado agregado es que ambos pueden hacerse simultáneamente.
Definiciones equivalentes
Es posible dar una lista bastante larga de definiciones equivalentes de una matriz normal. Sea A una matriz compleja n × n . Entonces los siguientes son equivalentes:
- A es normal.
- A es diagonalizable por una matriz unitaria.
- Existe un conjunto de vectores propios de A que forma una base ortonormal para C n .
- por cada x .
- La norma de Frobenius de A se puede calcular mediante los valores propios de A :.
- La parte hermitiana1/2( A + A * ) y hemi-hermitiana parte1/2( A - A * ) de un viaje diario.
- A * es un polinomio (de grado ≤ n - 1 ) en A . [a]
- A * = UA por alguna matriz unitaria U . [1]
- U y P conmute, donde tenemos la descomposición polar A = UP con una matriz unitaria U y algunos matriz semidefinida positiva P .
- A conmuta con alguna matriz normal N con valores propios distintos.
- σ i = | λ i | para todo 1 ≤ i ≤ n donde A tiene valores singulares σ 1 ≥ ⋯ ≥ σ ny valores propios | λ 1 | ≥ ⋯ ≥ | λ n | . [2]
Algunos, pero no todos, de lo anterior se generalizan a operadores normales en espacios de Hilbert de dimensión infinita. Por ejemplo, un operador acotado que satisface (9) es solo cuasinormal .
Analogía
En ocasiones es útil (pero a veces engañoso) pensar en las relaciones de diferentes tipos de matrices normales como análogas a las relaciones entre diferentes tipos de números complejos:
- Las matrices invertibles son análogas a los números complejos distintos de cero
- La transposición conjugada es análoga a la conjugada compleja
- Las matrices unitarias son análogas a los números complejos en el círculo unitario
- Las matrices hermitianas son análogas a los números reales.
- Las matrices definidas positivas hermitianas son análogas a los números reales positivos
- Las matrices hermitianas sesgadas son análogas a los números puramente imaginarios
Como caso especial, los números complejos se pueden incrustar en las matrices reales normales de 2 × 2 mediante el mapeo
que conserva la suma y la multiplicación. Es fácil comprobar que esta incrustación respeta todas las analogías anteriores.
Ver también
- Matriz hermitiana
- Matriz normal de mínimos cuadrados
Notas
- ^ Prueba. Cuándoes normal, use la fórmula de interpolación de Lagrange para construir un polinomio tal que , dónde son los valores propios de .
Citas
- ^ Horn y Johnson (1985) , p. 109
- ^ Horn y Johnson (1991) , p. 157
Fuentes
- Horn, Roger Alan ; Johnson, Charles Royal (1985), análisis de matrices , Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-38632-6.
- Horn, Roger Alan ; Johnson, Charles Royal (1991). Temas de análisis matricial . Prensa de la Universidad de Cambridge. ISBN 978-0-521-30587-7.