Radio espectral

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En matemáticas , el radio espectral de una matriz cuadrada o un operador lineal acotado es el valor absoluto más grande de sus valores propios (es decir, superior entre los valores absolutos de los elementos en su espectro ). A veces se denota por ρ (·).

Sea λ ₁ , ..., λ _n los valores propios ( reales o complejos ) de una matriz A ∈ C ^{n × n} . Entonces su radio espectral ρ ( A ) se define como:

El radio espectral es una especie de mínimo de todas las normas de una matriz. De hecho, por un lado, para cada norma de matriz natural ; y por otro lado, la fórmula de Gelfand dice eso . Ambos resultados se muestran a continuación. ${\ Displaystyle \ rho (A) \ leqslant \ | A \ |}$ ${\ Displaystyle \ | \ cdot \ |}$${\ Displaystyle \ rho (A) = \ lim _ {k \ to \ infty} \ | A ^ {k} \ | ^ {1 / k}}$

Sin embargo, el radio espectral no satisface necesariamente los vectores arbitrarios . Para ver por qué, seamos arbitrarios y consideremos la matriz${\ Displaystyle \ | A \ mathbf {v} \ | \ leqslant \ rho (A) \ | \ mathbf {v} \ |}$${\ Displaystyle \ mathbf {v} \ in \ mathbb {C} ^ {n}}$${\ Displaystyle r> 1}$

El polinomio característico de es , por lo que sus valores propios son y por lo tanto . Sin embargo, . Como resultado, para cualquier norma,${\ Displaystyle C_ {r}}$${\ Displaystyle \ lambda ^ {2} -1}$${\ Displaystyle \ {- 1,1 \}}$${\ Displaystyle \ rho (C_ {r}) = 1}$${\ Displaystyle C_ {r} \ mathbf {e} _ {1} = r \ mathbf {e} _ {2}}$${\ Displaystyle \ ell ^ {p}}$

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