En la teoría de la cirugía , una rama de las matemáticas , el paquete normal estable de una variedad diferenciable es un invariante que codifica los datos normales estables (dualmente, tangenciales). Hay análogos de generalizaciones de colector, en particular PL-variedades y variedades topológicas . También hay un análogo en la teoría de la homotopía para los espacios de Poincaré , la fibración esférica de Spivak , que lleva el nombre de Michael Spivak . [1]
Construcción mediante incrustaciones
Dada una incrustación de una variedad en el espacio euclidiano (proporcionada por el teorema de Hassler Whitney ), tiene un paquete normal . La incrustación no es única, pero para las grandes dimensiones del espacio euclidiano es única hasta la isotopía , por lo que la (clase del) paquete es única y se denomina paquete normal estable .
Esta construcción funciona para cualquier espacio Poincaré X : a finitos CW-complejo admite una forma estable única (hasta homotopy) de incrustación de espacio euclidiano , a través de la posición general , y esto rendimientos que incorporan un Fibration esférica sobre X . Para espacios más restringidos (en particular, variedades PL y variedades topológicas), se obtienen datos más sólidos.
Detalles
Dos incrustaciones son isotópicos si son homotópicos mediante incrustaciones. Dado un colector u otro espacio adecuado X, con dos incrustaciones en el espacio euclidiano estos no serán en general isotópicos, ni siquiera mapas en el mismo espacio ( no necesita ser igual ). Sin embargo, se pueden incrustar en un espacio más grande. dejando que el último coordenadas ser 0:
- .
Este proceso de adjuntar copias triviales del espacio euclidiano se llama estabilización. Por tanto, uno puede disponer que dos incrustaciones cualesquiera en el espacio euclidiano se mapeen en el mismo espacio euclidiano (tomando) y, además, si es suficientemente grande, estas incrustaciones son isotópicas, lo cual es un teorema.
Por lo tanto, existe una clase de incrustación de isotopía estable única: no es una incrustación particular (ya que hay muchas incrustaciones), ni una clase de isotopía (ya que el espacio objetivo no es fijo: es simplemente "un espacio euclidiano suficientemente grande"), sino más bien una clase de mapas de isotopía estable. El paquete normal asociado con esta (clase estable de) incrustaciones es entonces el paquete normal estable.
Se puede reemplazar esta clase de isotopía estable con una clase de isotopía real fijando el espacio de destino, ya sea utilizando el espacio de Hilbert como espacio de destino, o (para una dimensión fija de la variedad) usando un fijo suficientemente grande, ya que N depende solo de n , no de la variedad en cuestión.
De manera más abstracta, en lugar de estabilizar la incrustación, se puede tomar cualquier incrustación y luego tomar una suma directa de paquetes vectoriales con un número suficiente de paquetes de líneas triviales; esto corresponde exactamente al haz normal de la incrustación estabilizada.
Construcción mediante la clasificación de espacios
Un n- múltiple M tiene un paquete tangente, que tiene un mapa de clasificación (hasta homotopía)
Componer con la inclusión produce (la clase de homotopía de un mapa de clasificación de) el paquete tangente estable. El paquete normal de una incrustación ( grande) es una inversa por , tal que la suma de Whitney es trivial. La clase de homotopía del compuesto es independiente de la elección de la inversa, clasificando el paquete normal estable .
Motivación
No existe una noción intrínseca de un vector normal a una variedad, a diferencia de los vectores tangentes o cotangentes; por ejemplo, el espacio normal depende de la dimensión en la que se está incrustando uno, por lo que el paquete normal estable proporciona una noción de un espacio normal estable: un espacio normal (y vectores normales) hasta sumandos triviales.
¿Por qué estable normal, en lugar de estable tangente? Se utilizan datos normales estables en lugar de datos tangenciales inestables porque las generalizaciones de variedades tienen estructuras naturales estables de tipo normal, que provienen de vecindarios tubulares y generalizaciones, pero no tangenciales inestables, ya que la estructura local no es suave.
Las fibraciones esféricas sobre un espacio X se clasifican según las clases de homotopía de mapas.a un espacio clasificador , Con grupos de homotopía los grupos de homotopía estable de esferas
- .
El mapa olvidadizo se extiende a una secuencia de fibración
- .
Un espacio de Poincaré X no tiene un haz tangente, pero tiene una fibración esférica estable bien definida , que para una variedad diferenciable es la fibración esférica asociada al haz normal estable; por lo tanto, una obstrucción primaria para X que tiene el tipo de homotopía de una variedad diferenciable es que la fibración esférica se eleva a un paquete de vectores, es decir, la fibración esférica de Spivak debe levantar a , que es equivalente al mapa siendo homotópico nulo Por lo tanto, la obstrucción del haz a la existencia de una estructura múltiple (suave) es la clase. La obstrucción secundaria es la obstrucción de la cirugía de pared .
Aplicaciones
El haz normal estable es fundamental en la teoría de la cirugía como obstrucción primaria:
- Para que un espacio X de Poincaré tenga el tipo de homotopía de una variedad suave, el mapadebe ser homotópico nulo
- Para una equivalencia de homotopía entre dos colectores sean homotopic a un difeomorfismo, se debe tirar de la fibrado normal estable en N para el fibrado normal estable en M .
De manera más general, sus generalizaciones sirven como reemplazos del paquete tangente (inestable).
Referencias
- ^ Spivak, Michael (1967), "Espacios que satisfacen la dualidad de Poincaré", Topología (6): 77-101, doi : 10.1016 / 0040-9383 (67) 90016-X , MR 0214071